căn bậc ba

Bài viết trình bày các kiến thức cần nhớ và hướng dẫn phương pháp giải các dạng bài tập về chủ đề căn bậc ba trong chương trình Đại số 9.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

Căn bậc ba của một số $a$ là một số $x$ sao cho ${x^3} = a.$

Ta viết: $x = \sqrt[3]{a}$ $ \Leftrightarrow {x^3} = a.$

2. Tính chất

Mỗi số $a$ đều có duy nhất một căn bậc ba.

Căn bậc ba của một số dương là một số dương.

Căn bậc ba của một số âm là một số âm.

Căn bậc ba của số $0$ chính là số $0.$

3. So sánh các căn bậc ba

Với $a$, $b$ là hai số thực bất kỳ ta có: $a < b$ $ \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}.$

4. Khai căn bậc ba của một biểu thức nhờ hằng đẳng thức: $\sqrt[3]{{{A^3}}} = A.$

5. Các phép tính:

a) $\sqrt[3]{{A.B}} = \sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B}$, suy ra ${(\sqrt[3]{A})^n} = \sqrt[3]{{{A^n}}}$ với $1 < n \in N.$

b) $\sqrt[3]{{\frac{A}{B}}} = \frac{{\sqrt[3]{A}}}{{\sqrt[3]{B}}}$ với $B \ne 0.$

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. TÌM CĂN BẬC BA CỦA MỘT SỐ, MỘT BIỂU THỨC – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ${x^3} = a$

I. Phương pháp giải

1. Khai căn bậc ba một số, một biểu thức nhờ hằng đẳng thức $\sqrt[3]{{{A^3}}} = A.$

2. Giải phương trình ${x^3} = a$ $ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{a}.$

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Hãy tính: $\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[3]{{ – 343}}$, $\sqrt[3]{{0,064}}$, $\sqrt[3]{{ – 0,126}}$, $\sqrt[3]{{\frac{{27}}{{125}}}}$, $\sqrt[3]{{ – \frac{1}{{512}}}}.$

Ta có:

$\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{{{2^3}}} = 2.$

$\sqrt[3]{{ – 343}} = \sqrt[3]{{{{( – 7)}^3}}} = – 7.$

$\sqrt[3]{{0,064}} = \sqrt[3]{{{{(0,4)}^3}}} = 0,4.$

$\sqrt[3]{{ – 0,216}} = \sqrt[3]{{{{( – 0,6)}^3}}} = – 0,6.$

$\sqrt[3]{{\frac{{27}}{{125}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^3}}} = \frac{3}{5}.$

$\sqrt[3]{{ – \frac{1}{{512}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( { – \frac{1}{8}} \right)}^3}}} = – \frac{1}{8}.$

Ví dụ 2: Hãy tìm:

a) $\sqrt[3]{{27{a^3}}}.$

b) $\sqrt[3]{{ – 64{a^6}}}.$

c) $\sqrt[3]{{ – 0,027{x^9}}}.$

d) $\sqrt[3]{{\frac{{125{x^3}}}{8}}}.$

a) $\sqrt[3]{{27{a^3}}} = \sqrt[3]{{{{(3a)}^3}}} = 3a.$

b) $\sqrt[3]{{ – 64{a^6}}} = \sqrt[3]{{{{\left( { – 4{a^2}} \right)}^3}}} = – 4{a^2}.$

c) $\sqrt[3]{{ – 0,027{x^9}}}$ $ = \sqrt[3]{{{{\left( { – 0,3{x^3}} \right)}^3}}}$ $ = – 0,3{x^3}.$

d) $\sqrt[3]{{\frac{{125{x^3}}}{8}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{{5x}}{2}} \right)}^3}}} = \frac{{5x}}{2}.$

Ví dụ 3: Giải phương trình:

a) ${x^3} = 1.$

b) $8{x^3} = – 27.$

c) $2{x^3} = 0,016.$

d) $\sqrt[3]{{2x – 1}} = 3.$

e) $\sqrt[3]{{2 – 3x}} = – 2.$

f) $\sqrt[3]{{x – 1}} + 1 = x.$

a) ${x^3} = 1$ $ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{1} = 1.$

Vậy $S = \{ 1\} .$

b) $8{x^3} = – 27$ $ \Leftrightarrow {x^3} = – \frac{{27}}{8}$ $ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{27}}{8}}}$ $ \Leftrightarrow x = – \frac{3}{2} \cdot $

Vậy $S = \left\{ { – \frac{3}{2}} \right\}.$

c) $2{x^3} = 0,016$ $ \Leftrightarrow {x^3} = 0,008$ $ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{0,008}}$ $ \Leftrightarrow x = 0,2.$

Vậy $S = \{ 0,2\} .$

d) $\sqrt[3]{{2x – 1}} = 3$ $ \Leftrightarrow 2x – 1 = {3^3}$ $ \Leftrightarrow 2x = 27 + 1 = 28$ $ \Leftrightarrow x = 14.$

Vậy $S = \{ 14\} .$

e) $\sqrt[3]{{2 – 3x}} = – 2$ $ \Leftrightarrow 2 – 3x = {( – 2)^3}$ $ \Leftrightarrow 2 – 3x = – 8$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{10}}{3} \cdot $

Vậy $S = \left\{ {\frac{{10}}{3}} \right\}.$

f) $\sqrt[3]{{x – 1}} + 1 = x$ $ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x – 1}} = x – 1$ $ \Leftrightarrow x – 1 = {(x – 1)^3}.$

$ \Leftrightarrow (x – 1)\left[ {{{(x – 1)}^2} – 1} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x – 1 = 0}\\

{{{(x – 1)}^2} = 1}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{x – 1 = 1}\\

{x – 1 = – 1}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{x = 2}\\

{x = 0}

\end{array}} \right..$

Vậy $S = \{ 0;1;2\} .$

III. Bài tập

Bài tập 1: Hãy tính: $\sqrt[3]{{ – 216}}$, $\sqrt[3]{{512}}$, $\sqrt[3]{{ – 1331}}$, $\sqrt[3]{{729}}.$

Bài tập 2: Hãy tính: $\sqrt[3]{{0,001{x^3}}}$, $\sqrt[3]{{ – 125{a^{12}}}}$, $\sqrt[3]{{27{x^6}}}$, $\sqrt[3]{{ – 0.343{a^3}}}.$

Bài tập 3: Giải phương trình:

a) ${x^3} = 2.$

b) $27{x^3} = – 81.$

c) $\frac{1}{2}{x^3} = 0,4.$

d) $\sqrt[3]{{3x + 1}} = 4.$

e) $\sqrt[3]{{3 – 2x}} = – 3.$

f) $\sqrt[3]{{x – 2}} + 2 = x.$

Dạng 2. SO SÁNH CÁC CĂN BẬC BA – TÌM MỘT SỐ BIẾT THỨ TỰ CĂN BẬC BA CỦA NÓ

I. Phương pháp giải

Sử dụng tính chất $a < b$ $ \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$ với $a$, $b$ là các số thực tuỳ ý.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: So sánh:

a) $5$ và $\sqrt[3]{{123}}.$

b) $5\sqrt[3]{6}$ và $6\sqrt[3]{5}.$

a) Giả sử $5 > \sqrt[3]{{123}}$ $(1).$

$ \Leftrightarrow {5^3} > {(\sqrt[3]{{123}})^3}$ $ \Leftrightarrow 125 > 123$ $(2).$

Ta thấy $(2)$ đúng, mà $(2) \Leftrightarrow (1).$

Vậy $(1)$ đúng hay $5 > \sqrt[3]{{123}}.$

b) Giả sử $5\sqrt[3]{6} > \sqrt[3]{{123}}$ $(1).$

$ \Leftrightarrow {(5\sqrt[3]{6})^3} > {(\sqrt[3]{{123}})^3}$ $ \Leftrightarrow {5^3}.6 > {6^3}.5$ $ \Leftrightarrow 750 > 1080$ $(2).$

Ta thấy $(2)$ sai mà $(2) \Leftrightarrow (1).$

Vậy $(1)$ sai hay $5\sqrt[3]{6} < \sqrt[3]{{123}}.$

Ví dụ 2: Tìm số thực $x$ biết:

a) $\sqrt[3]{x} > 1.$

b) $\sqrt[3]{x} \ge 2.$

c) $2\sqrt[3]{x} \le 6.$

d) $3\sqrt[3]{x} \ge 12.$

a) $\sqrt[3]{x} > 1$ $ \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{x})^3} > {1^3}$ $ \Leftrightarrow x > 1.$

Vậy $x > 1.$

b) $\sqrt[3]{x} \ge 2$ $ \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{x})^3} \ge {2^3}$ $ \Leftrightarrow x \ge 8.$

Vậy $x \ge 8.$

c) $2\sqrt[3]{x} \le 6$ $ \Leftrightarrow \sqrt[3]{x} \le 3$ $ \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{x})^3} \le {3^3}$ $ \Leftrightarrow x \le 27.$

Vậy $x \le 27.$

d) $\sqrt[3]{x} \ge 12$ $ \Leftrightarrow \sqrt[3]{x} \ge 4$ $ \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{x})^3} \ge {4^3}$ $ \Leftrightarrow x \ge 64.$

Vậy $x \ge 64.$

III. Bài tập

Bài tập 4: So sánh:

a) $3\sqrt[3]{2}$ và $\sqrt[3]{{55}}.$

b) $3\sqrt[3]{4}$ và $2\sqrt[3]{{13}}.$

Bài tập 5: Tìm số thực $x$ biết:

a) $\sqrt[3]{x} < 2.$

b) $\sqrt[3]{{2x – 1}} > – 3.$

c) $\sqrt[3]{{2 – 3x}} \le 1.$

d) $\sqrt[3]{{3 – 4x}} \ge 5.$

Dạng 3. TÍNH GIÁ TRỊ – RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN

I. Phương pháp giải

Rút gọn đồng nghĩa với thu gọn.

+ Bước 1: Khai căn một biểu thức.

+ Bước 2: Thu gọn.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Tính:

a) $\sqrt[3]{{27}} – \sqrt[3]{{ – 8}} – \sqrt[3]{{125}}.$

b) $\frac{{\sqrt[3]{{24}}}}{{\sqrt[3]{3}}} – \sqrt[3]{{32}}.\sqrt[3]{2}.$

a) $\sqrt[3]{{27}} – \sqrt[3]{{ – 8}} – \sqrt[3]{{125}}$ $ = \sqrt[3]{{{3^3}}} – \sqrt[3]{{{{( – 2)}^3}}} – \sqrt[3]{{{5^3}}}$ $ = 3 – ( – 2) – 5 = 0.$

b) $\frac{{\sqrt[3]{{24}}}}{{\sqrt[3]{3}}} – \sqrt[3]{{32}}.\sqrt[3]{2}$ $ = \sqrt[3]{{\frac{{24}}{3}}} – \sqrt[3]{{64}}$ $ = \sqrt[3]{{{2^3}}} – \sqrt[3]{{{4^3}}}$ $ = 2 – 4 = – 2.$

Ví dụ 2: Rút gọn:

a) $4ab\sqrt[3]{{\frac{{27{x^3}{y^6}}}{{64{a^{12}}{b^{15}}}}}}.$

b) $\frac{1}{{x{y^2}}}\sqrt[3]{{ – 8{x^3}{y^6}}}.$

a) $4ab\sqrt[3]{{\frac{{27{x^3}{y^6}}}{{64{a^{12}}{b^{15}}}}}}$ $ = \frac{{4ab\sqrt[3]{{{{\left( {3x{y^2}} \right)}^3}}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {4{a^4}{b^5}} \right)}^3}}}}}$ $ = \frac{{4ab3x{y^2}}}{{4{a^4}{b^5}}}$ $ = \frac{{3x{y^2}}}{{{a^3}{b^4}}}.$

b) $\frac{1}{{x{y^2}}}\sqrt[3]{{ – 8{x^3}{y^6}}}$ $ = \frac{1}{{x{y^2}}}\sqrt[3]{{{{\left( { – 2x{y^2}} \right)}^3}}}$ $ = \frac{{ – 2x{y^2}}}{{x{y^2}}} = – 2.$

Ví dụ 3: Rút gọn:

a) $M = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}.$

b) $N = \sqrt[3]{{6\sqrt 3 – 10}}.$

c) $P = \sqrt[3]{{5\sqrt 2 – 7}} – 33\sqrt 2 .$

d) $Q = \sqrt[3]{{6\sqrt 3 + 10}} – 5\sqrt 3 .$

a) Vì $7 + 5\sqrt 2 $ $ = {(\sqrt 2 )^3} + 1 + 3\sqrt 2 .1(\sqrt 2 + 1)$ $ = {(\sqrt 2 + 1)^3}$ nên $M = \sqrt[3]{{{{(\sqrt 2 + 1)}^3}}} = \sqrt 2 + 1.$

b) Vì $6\sqrt 3 – 10$ $ = {(\sqrt 3 )^3} – {1^3} – 3\sqrt 3 .1(\sqrt 3 – 1)$ $ = {(\sqrt 3 – 1)^3}$ nên $N = \sqrt[3]{{{{(\sqrt 3 – 1)}^3}}} = \sqrt 3 – 1.$

c) Vì $5\sqrt 2 – 7$ $ = {(\sqrt 2 )^3} – {1^3} – 3\sqrt 2 .1(\sqrt 2 – 1)$ $ = {(\sqrt 2 – 1)^3}$ nên $P = \sqrt[3]{{{{(\sqrt 2 – 1)}^3}}} – 3\sqrt 2 $ $ = \sqrt 2 – 1 – 3\sqrt 2 $ $ = – 2\sqrt 2 – 1.$

d) Vì $6\sqrt 3 + 10$ $ = {(\sqrt 3 )^3} + {1^3} + 3\sqrt 3 .1(\sqrt 3 + 1)$ $ = {(\sqrt 3 + 1)^3}$ nên $Q = \sqrt[3]{{{{(\sqrt 3 + 1)}^3}}} – 5\sqrt 3 $ $ = \sqrt 3 + 1 – 5\sqrt 3 $ $ = – 4\sqrt 3 + 1.$

Ví dụ 4: Rút gọn:

a) $(\sqrt[3]{2} – 1)(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1).$

b) $(\sqrt[3]{3} + 2)(\sqrt[3]{9} – 2\sqrt[3]{3} + 4).$

a) $(\sqrt[3]{2} – 1)(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1)$ $ = {(\sqrt[3]{2})^3} – {1^3}$ $ = 2 – 1 = 1.$

b) $(\sqrt[3]{3} + 2)(\sqrt[3]{9} – 2\sqrt[3]{3} + 4)$ $ = {(\sqrt[3]{3})^3} + {2^3}$ $ = 3 + 8 = 11.$

III. Bài tập

Bài tập 6: Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}.\sqrt[3]{{ – 12}}.\sqrt[3]{2}.$

b) $\sqrt[3]{9}.\left( {\frac{1}{3}\sqrt[3]{3} – \frac{1}{6}\sqrt[3]{{24}}} \right).$

c) $\left( {\frac{1}{2}\sqrt[3]{9} – 2\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}} \right):2\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}.$

Bài tập 7: Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt[3]{{8\sqrt 5 + 16}}.$

b) $\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }}.$

Bài tập 8: Rút gọn các biểu thức:

a) $(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9} – \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}).$

b) $\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }}.$

c) $(\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{{49}} – \sqrt[3]{{14}} + \sqrt[3]{4}).$

C. LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ

Bài tập 1:

$\sqrt[3]{{ – 216}} = \sqrt[3]{{{{( – 6)}^3}}} = – 6.$

$\sqrt[3]{{512}} = \sqrt[3]{{{8^3}}} = 8.$

$\sqrt[3]{{729}} = \sqrt[3]{{{9^3}}} = 9.$

Bài tập 2:

$\sqrt[3]{{0,001{x^3}}} = \sqrt[3]{{{{(0,1x)}^3}}} = 0,1x.$

$\sqrt[3]{{ – 125{a^{12}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( { – 5{a^4}} \right)}^3}}} = – 5{a^4}.$

$\sqrt[3]{{27{x^6}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {3{x^2}} \right)}^3}}} = 3{x^2}.$

$\sqrt[3]{{ – 0,343{a^3}}} = \sqrt[3]{{{{( – 0,7a)}^3}}} = – 0,7a.$

Bài tập 3:

a) ${x^3} = 2$ $ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{2}.$

Vậy $S = \{ \sqrt[3]{2}\} .$

b) $27{x^3} = – 81$ $ \Leftrightarrow {x^3} = – 3$ $ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^3}}} = \sqrt[3]{{ – 3}}$ $ \Leftrightarrow x = – \sqrt[3]{3}.$

Vậy $S = \{ – \sqrt[3]{3}\} .$

c) $\frac{1}{2}{x^3} = 0,004$ $ \Leftrightarrow {x^3} = 0,008$ $ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^3}}} = \sqrt[3]{{0,008}}$ $ \Leftrightarrow x = 0,2.$

Vậy $S = \{ 0,2\} .$

d) $\sqrt[3]{{3x + 1}} = 4$ $ \Leftrightarrow 3x + 1 = {4^3}$ $ \Leftrightarrow x = 21.$

e) $\sqrt[3]{{3 – 2x}} = – 3$ $ \Leftrightarrow 3 – 2x = {( – 3)^3}$ $ \Leftrightarrow x = 15.$

f) $\sqrt[3]{{x – 2}} + 2 = x$ $ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x – 2}} = x – 2$ $ \Leftrightarrow x – 2 = {(x – 2)^3}.$

$ \Leftrightarrow (x – 2)\left[ {{{(x – 2)}^2} – 1} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x – 2 = 1}\\

{{{(x – 2)}^2} = 1}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2}\\

{x – 2 = 1}\\

{x – 2 = – 1}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2}\\

{x = 3}\\

{x = 1}

\end{array}} \right..$

Vậy $S = \{ 1;2;3\} .$

Bài tập 4:

a) Vì $54 < 55$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{{54}} < \sqrt[3]{{55}}$ hay $3\sqrt[3]{2} < \sqrt[3]{{55}}.$

b) Vì $108 > 104$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{{108}} > \sqrt[3]{{104}}$ hay $3\sqrt[3]{4} < 2\sqrt[3]{{13}}.$

Bài tập 5:

a) $\sqrt[3]{x} < 2$ $ \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{x})^3} < {2^3}$ $ \Leftrightarrow x < 8.$

b) $\sqrt[3]{{2x – 1}} > – 3$ $ \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{{2x – 1}})^3} > {( – 3)^3}$ $ \Leftrightarrow 2x – 1 > – 27$ $ \Leftrightarrow x > – 13.$

c) $\sqrt[3]{{2 – 3x}} \le 1$ $ \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{{2 – 3x}})^3} \le {1^3}$ $ \Leftrightarrow 2 – 3x \le 1$ $ \Leftrightarrow 1 \le x.$

d) $\sqrt[3]{{3 – 4x}} \ge 5$ $ \Leftrightarrow {(\sqrt[3]{{3 – 4x}})^3} \ge {5^3}$ $ \Leftrightarrow 3 – 4x \ge 125$ $ \Leftrightarrow – \frac{{61}}{2} \ge x.$

Bài tập 6:

a) $\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}.\sqrt[3]{{ – 12}}.\sqrt[3]{2}$ $ = \sqrt[3]{{\frac{{ – 12.2}}{3}}}$ $ = \sqrt[3]{{ – 8}} = – 2.$

b) $\sqrt[3]{9}.\left( {\frac{1}{3}\sqrt[3]{3} – \frac{1}{6}\sqrt[3]{{24}}} \right)$ $ = \frac{1}{3}\sqrt[3]{{27}} – \frac{1}{6}\sqrt[3]{{216}}$ $ = \frac{1}{3}.3 – \frac{1}{6}.6 = 0.$

c) $\left( {\frac{1}{2}\sqrt[3]{9} – 2\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}} \right):2\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}}$ $ = \frac{1}{4}\sqrt[3]{{27}} – \sqrt[3]{9} + \frac{3}{2}$ $ = \frac{3}{4} + \frac{3}{2} – \sqrt[3]{9}$ $ = \frac{9}{4} – \sqrt[3]{9}.$

Bài tập 7:

a) $\sqrt[3]{{8\sqrt 5 + 16}}$ $ = \sqrt[3]{{{{(\sqrt 5 + 1)}^3}}}$ $ = \sqrt 5 + 1.$

b) $\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }}$ $ = \sqrt[3]{{{{(\sqrt 3 + 2)}^3}}}$ $ = \sqrt 3 + 2.$

Bài tập 8:

a) $(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9} – \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})$ $ = {(\sqrt[3]{3})^3} + {(\sqrt[3]{2})^3}$ $ = 3 + 2 = 5.$

b) $(\sqrt[3]{5} – \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{{25}} + \sqrt[3]{{15}} + \sqrt[3]{9})$ $ = {(\sqrt[3]{5})^3} – {(\sqrt[3]{3})^3}$ $ = 5 – 3 = 2.$

c) $(\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{{49}} – \sqrt[3]{{14}} + \sqrt[3]{4})$ $ = {(\sqrt[3]{7})^3} + {(\sqrt[3]{2})^3}$ $ = 7 + 2 = 9.$