hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a khác 0)

Bài viết hướng dẫn phương pháp xác định hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$ ($a$ khác $0$).

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Đường thẳng $y = ax + b$ có hệ số góc là $a.$

2. Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng $y = ax + b$ với tia $Ox.$

a) Nếu $\alpha < {90^0}$ thì $a > 0.$

b) Nếu $\alpha > {90^0}$ thì $a < 0.$

Các đường thẳng có cùng hệ số $a$ ($a$ là hệ số của $x$) thì tạo với trục $Ox$ các góc bằng nhau.

B. PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

I. Phương pháp giải

1. Xác định hàm số $y = ax + b.$

2. Hai đường thẳng song song với nhau thì có hệ số góc bằng nhau.

3. $\tan \alpha = \frac{{{\rm{Cạnh\:kề}}}}{{{\rm{Cạnh\:đối}}}}.$

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất $y = ax + 3.$

a) Xác định hệ số góc $a$ biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm $M(2;6).$

b) Vẽ đồ thị của hàm số.

a) Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm $M(2;6)$ khi và chỉ khi toạ độ của $M$ thoả mãn phương trình của đồ thị. Tức là:

$6 = a.2 + 3$ $ \Leftrightarrow 2a = 3$ $ \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}.$

Vậy $a = \frac{3}{2}$ là hệ số góc cần tìm. Lúc đó hàm số có dạng $y = \frac{3}{2}x + 3.$

b) Học sinh tự vẽ đồ thị.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = -2x + 3.$

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tính góc tạo bởi đường thẳng $y = -2x + 3$ và trục $Ox$ (làm tròn đến phút).

a) Lập bảng giá trị của hàm số tại $x = 0$ và $x = \frac{3}{2}.$

Ta được hai điểm $A(0;3)$ và $B\left( {\frac{3}{2};0} \right).$

Nối $A$ và $B$ ta được đồ thị hàm số $y = -2x + 3.$

b) Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng $y = -2x + 3$ với trục $Ox$ thì: $\widehat {ABX} = {180^0} – \widehat {ABO}.$

Vì $OA$, $OB$ lần lượt là cạnh đối và cạnh kề của góc $\widehat {ABO}$ trong tam giác $AOB$ vuông tại $O$, nên: $\tan \widehat {ABO} = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{3}{1}:\frac{3}{2} = 2.$

Do đó $\widehat {ABO} \approx {56^0}19’$, suy ra $\alpha \approx {123^0}41′.$

Ví dụ 3:

a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm số sau:

$y = – x + 2$.

$y = \frac{1}{2}x + 2.$

b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng $y = -x + 2$ và $y = \frac{1}{2}x + 2$ với trục hoành theo thứ tự là $A$, $B$ và giao điểm của chúng là $C.$ Tính các góc của tam giác $ABC.$

c) Tính chu vi và diện tích của tam giác $ABC$ (đơn vị đo trên trục toạ độ là cm).

a) Lập bảng giá trị của các hàm số:

b) Ta có: $A(2;0)$, $B(-4;0)$, $C(0;2).$

$\tan A = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{2}{2} = 1$ $ \Rightarrow \widehat A = {45^0}.$

$\tan B = \frac{{OC}}{{OB}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow \widehat B \approx {27^0}.$

$\widehat C = {180^0} – (\widehat A + \widehat B)$ $ \approx {180^0} – \left( {{{27}^0} + {{45}^0}} \right) = {108^0}.$

c) Gọi $p$, $S$ theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác $ABC$ thì:

$S = \frac{1}{2}OC.AB$ $ = \frac{1}{2}.2.6 = 6$ ($c{m^2}$).

$p = AB + BC + CA$ $ = 6 + BC + CA.$

Áp dụng hệ thức Pytago vào hai tam giác vuông $OBC$ và $OCA$ ta được:

$BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}} $ $ = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = \sqrt {20} $ (cm).

$AC = \sqrt {O{A^2} + O{C^2}} $ $ = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = \sqrt 8 $ (cm).

Vậy $p = 6 + \sqrt {20} + \sqrt 8 $ $ \approx 13,3$ (cm).

Ví dụ 4:

a) Vẽ đồ thị của các hàm số $y = x + 1$, $y = \frac{1}{{\sqrt 3 }}x + \sqrt 3 $, $y = \sqrt 3 x – \sqrt 3 .$

b) Gọi $\alpha $, $\beta $, $\gamma $ lần lượt là góc tạo bởi các đường thẳng trên và trục $Ox$, chứng minh rằng $\tan \alpha = 1$, $\tan \beta = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$, $\tan \gamma = \sqrt 3 .$ Tính số đo các góc $\alpha $, $\beta $, $\gamma .$

a) Lập bảng giá trị của các hàm số:

b) Gọi tên các giao điểm của các đồ thị với $Ox$, $Oy$ như trên hình vẽ. Ta có:

$\tan \alpha = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{1}{1} = 1$ $ \Rightarrow \alpha = {45^0}.$

$\tan \beta = \frac{{OC}}{{OD}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $ \Rightarrow \beta = {30^0}.$

$\tan \gamma = \frac{{OF}}{{OE}} = \frac{{\sqrt 3 }}{1} = \sqrt 3 $ $ \Rightarrow \gamma = {60^0}.$

III. Bài tập

1. Cho hàm số bậc nhất $y = ax – 3$ $(1).$ Hãy xác định hệ số $a$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số $(1)$ cắt đường thẳng $y = 2x – 1$ tại điểm có hoành độ bằng $2.$

b) Đồ thị của hàm số $(1)$ cắt đường thẳng $y = -3x + 1$ tại điểm có tung độ bằng $-2.$

2. Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc toạ độ và:

a) Đi qua điểm $M(1;2).$

b) Đi qua điểm $N(-2;1).$

c) Có nhận xét gì về hai đường thẳng trên.

d) Vẽ đồ thị của các đường thẳng tìm được ở hai câu a, b trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

IV. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

1.

a) Xét phương trình tương giao: $ax – 3 = 2x – 1.$

Đồ thị hàm số $(1)$ cắt đường thẳng $y = 2x – 1$ tại điểm $x = 2$ khi và chỉ khi $x = 2$ là nghiệm của phương trình tương giao hay $a.2 – 3 = 2.2 – 1$ $ \Leftrightarrow a = 3.$

b) Đồ thị hàm số $(1)$ cắt đường thẳng $y = -3x + 1$ tại điểm có tung độ bằng $-2$ khi và chỉ khi hệ điều kiện sau được thoả mãn:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{ – 2 = – 3x + 1}\\

{ax – 3 = – 3x + 1}

\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{a – 3 = – 3 + 1}

\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{a = 1}

\end{array}} \right..$

2. Vì đường thẳng đi qua gốc toạ độ có phương trình $y = ax.$

a) Đường thẳng $y = ax$ đi qua $M(1;2)$ khi và chỉ khi $2 = a.$

Hàm số có dạng $y = 2x.$

b) Đường thẳng $y = ax$ đi qua $N(-2;1)$ khi và chỉ khi:

$1 = – 2a$ $ \Leftrightarrow a = – \frac{1}{2}.$

Hàm số có dạng $y = – \frac{1}{2}x.$

c) Hai đường thẳng trên vuông góc với nhau vì tích hai hệ số góc:

$2.\left( {\frac{1}{2}} \right) = – 1.$

d) Học sinh tự vẽ đồ thị.