đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Bài viết trình bày lý thuyết và hướng dẫn phương pháp giải toán đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau trong chương trình Đại số 9.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng $y = ax + b$ $(a \ne 0)$ và $y = a’x + b’$ $(a’ \ne 0)$ song song với nhau khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a = a’}\\

{b \ne b’}

\end{array}} \right.$ và trùng nhau khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a = a’}\\

{b = b’}

\end{array}} \right..$

II. Hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng $y = ax + b$ $(a \ne 0)$ và $y = a’x + b’$ $(a’ \ne 0)$ cắt nhau khi và chỉ khi $a \ne a’.$

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. XÁC ĐỊNH CÁC CẶP ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, TRÙNG NHAU.

I. Phương pháp giải

Dựa vào dấu hiệu song song, cắt nhau của hai đường thẳng.

Cho hai đường thẳng $d:$ $y = ax + b$ $(a \ne 0)$ và $d’:$ $y = a’x + b’$ $\left( {a’ \ne 0} \right).$

Khi đó:

1. $d//d’$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a = a’}\\

{b \ne b’}

\end{array}} \right..$

2. $d \equiv d’$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a = a’}\\

{b = b’}

\end{array}} \right..$

3. $d$ cắt $d’$ $ \Leftrightarrow a \ne a’.$

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song với nhau trong số các đường thẳng sau:

a) $y = 1,5x + 2.$

b) $y = x + 2.$

c) $y = 0,5x – 3.$

d) $y = x – 3.$

e) $y = 1,5x – 1.$

f) $y = 0,5x + 3.$

Dựa vào điều kiện song song của hai đường thẳng, ta có các cặp đường thẳng song song là:

$y = 1,5x + 2$ và $y = 1,5x – 1.$

$y = x + 2$ và $y = x – 3.$

$y = 0,5x – 3$ và $y = 0,5x + 3.$

Ví dụ 2: Cho hai hàm số bậc nhất $y = mx + 3$ và $y = (2m – 1)x – 5.$ Tìm giá trị của $m$ để đồ thị của hai hàm đã cho là:

a) Hai đường thẳng song song.

b) Hai đường thẳng cắt nhau.

a) Đồ thị hàm số đã cho là hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m \ne 0}\\

{2m – 1 \ne 0}\\

{2m – 1 = m}

\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m \ne 0}\\

{m \ne \frac{1}{2}}\\

{m = 1}

\end{array}} \right.$ hay $m = 1.$

Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm.

b) Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m \ne 0}\\

{2m – 1 \ne 0}\\

{2m – 1 \ne m}

\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m \ne 0}\\

{m \ne \frac{1}{2}}\\

{m \ne 1}

\end{array}} \right..$

Vậy $m \ne 0$, $m \ne 1$, $m \ne \frac{1}{2}$ là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Cho hai hàm số $y = 3x – 3$ và $y = -3x + 2m + 9.$ Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị của hai hàm số trên:

a) Cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

b) Cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.

a) Đồ thị của hàm số $y = 3x – 3$ cắt trục tung tại điểm $A(0;-3)$ nên đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì điểm đó phải là $A(0;-3).$

Đồ thị hàm số $y = -3x + 2m + 9$ đi qua $A(0;-3)$ khi và chỉ khi:

$ – 3 = – 3.0 + 2m + 9$ $ \Leftrightarrow 2m = – 12$ $ \Leftrightarrow m = – 6.$

Vậy $m = -6$ là giá trị cần tìm.

b) Đồ thị của hàm số $y = 3x – 3$ cắt trục hoành tại điểm $B(1;0)$ nên đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì điểm đó phải là $B(1;0).$

Đồ thị hàm số $y = -3x + 2m + 9$ đi qua điểm $B(1;0)$ khi và chỉ khi:

$0 = – 3.1 + 2m + 9$ $ \Leftrightarrow 2m = 6$ $ \Leftrightarrow m = – 3.$

Vậy $m = -3$ là giá trị cần tìm.

III. Bài tập

1. Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau và song song với nhau trong số các đường thẳng sau:

a) $y = 1 – x.$

b) $y = \sqrt 2 x – 2.$

c) $y = – 0,5x.$

d) $y = 3 – 0,5x.$

e) $y = 1 + \sqrt 2 x.$

f) $y = – x + 4.$

2. Tìm giá trị của $a$ để hai đường thẳng $y = (a – 1)x + 2$ và $y = (5 – a)x + 3$ song song với nhau.

3. Với điều kiện nào của $m$ và $n$ thì hai đường thẳng sau sẽ trùng nhau?

$y = mx + n – 1$ và $y = (3 – m)x + 5 – n.$

4. Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị của các hàm số $y = 3x + 1 – m$ và $y = -2x + m + 3$ cắt nhau tại một điểm trên:

a) Trục tung.

b) Trục hoành.

Dạng 2. XÁC ĐỊNH HÀM SỐ $y = ax + b$ BIẾT ĐỒ THỊ CỦA NÓ THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.

I. Phương pháp giải

1. Gọi $d$ là đồ thị của hàm số $y = ax + b$ $(a \ne 0).$

Cho $x = 0$ thì $y = b$, ta được điểm $A(0;b)$ thuộc trục tung $Oy$ hay $d$ cắt $Oy$ tại điểm có tung độ bằng $b.$

Cho $y = 0$ thì $x = – \frac{b}{a}$ ta được điểm $B\left( { – \frac{b}{a};0} \right)$ thuộc trục hoành $Ox$ hay $d$ cắt $Ox$ tại điểm có hoành độ $ – \frac{b}{a}.$

2. Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc $d$ $ \Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b.$

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = 2x + b.$ Hãy xác định hệ số $b$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-3.$

b) Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm $(1;5).$

a) Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-3$ tức là đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm $A(0;-3).$

Đồ thị hàm số $y = 2x + b$ đi qua điểm $A$ khi và chỉ khi $ – 3 = 2.0 + b$ $ \Leftrightarrow b = – 3.$

Vậy $b = -3$ là giá trị cần xác định.

b) Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm $(1;5)$ khi và chỉ khi:

$5 = 2.1 + b$ $ \Leftrightarrow b = 3.$

Vậy $b = 3$ là giá trị cần xác định.

Ví dụ 2: Cho hàm số bậc nhất $y = ax – 4$ $(1).$ Hãy xác định hệ số $a$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số $(1)$ cắt đường thẳng $y = 2x – 1$ tại điểm có hoành độ bằng $3.$

b) Đồ thị của hàm số $(1)$ cắt đường thẳng $y = -3x + 2$ tại điểm có tung độ bằng $5.$

Xét phương trình tương giao $ax – 4 = 2x – 1.$

a) Đồ thị của hàm số $(1)$ cắt đường thẳng $y = 2x – 1$ tại điểm có hoành độ bằng $3$ khi và chỉ khi $x = 3$ là nghiệm của phương trình tương giao. Tức là: $a.3 – 4 = 2.3 – 1$ $ \Leftrightarrow a = 3.$

Vậy $a = 3$ là giá trị cần xác định.

b) Đồ thị của hàm số $(1)$ cắt đường thẳng $y = -3x + 2$ tại điểm có tung độ bằng $5$ khi và chỉ khi hệ điều kiện sau được thoả mãn:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{ – 3x + 2 = 5}\\

{ax – 4 = – 3x + 2}

\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – 1}\\

{ – a – 4 = 3 + 2}

\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – 1}\\

{a = – 9}

\end{array}} \right..$

Vậy $a = -9$ là giá trị cần xác định.

Ví dụ 3: Xác định $a$, $b$ để đồ thị của hàm số $y = ax + b$ đi qua các điểm:

a) $M(1;2)$ và $N(2;1).$

b) $P(1;2)$ và $Q(3;4).$

Gọi $d$ là đồ thị của hàm số $y = ax + b.$

a) Đồ thị $d$ đi qua $M(1;2)$ khi và chỉ khi toạ độ của $M$ thoả mãn phương trình của hàm số, tức là: $2 = a.1 + b$ $ \Leftrightarrow b = 2 – a$ $(1).$

Đồ thị $d$ đi qua $N(2;1)$ khi và chỉ khi toạ độ của $N$ thoả mãn phương trình của hàm số, tức là: $1 = 2a + b$ $ \Leftrightarrow b = 1 – 2a$ $(2).$

Trừ $(1)$ cho $(2)$ theo vế ta được: $0 = 2 – a – 1 + 2a$ $ \Leftrightarrow a = – 1.$

Thay $a = -1$ vào $(1)$ ta được $b = 2 – (-1) = 2 + 1 = 3.$

Vậy $a = -1$ và $b = 3$ là hai giá trị cần xác định.

b) Đồ thị $d$ đi qua $P(1;2)$ khi và chỉ khi: $a + b = 2$ $ \Leftrightarrow b = 2 – a$ $(3).$

Đồ thị $d$ đi qua $Q(3;4)$ khi và chỉ khi: $3a + b = 4$ $ \Leftrightarrow b = 4 – 3a$ $(4).$

Trừ $(3)$ cho $(4)$ theo vế ta được $0 = 2 – a – 4 + 3a$ $ \Leftrightarrow 2a = 2$ $ \Leftrightarrow a = 1.$

Thế $a = 1$ vào $(3)$ ta được $b = 2 – 1 = 1.$

Vậy $a = b = 1$ là hai giá trị cần xác định.

III. Bài tập

5. Cho hàm số $y = mx – 2.$ Xác định $m$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y = -3x.$

b) Khi $x = 1 + \sqrt 2 $ thì $y = \sqrt 2 .$

6. Xác định hàm số $y = ax + b$ biết đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $3$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-3.$

7. Xác định hàm số $y = ax + b$ biết đồ thị của hàm số đi qua gốc toạ độ và điểm $C\left( {\frac{1}{2}; – 2} \right).$

8. Xác định hàm số $y = ax + b$ biết đồ thị của hàm số đi qua hai điểm $M(-3;1)$ và $N(3;4).$