phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

+ Phương trình bậc nhất hai ẩn $x$ và $y$ là hệ thức dạng $ax + by = c$, trong đó $a$, $b$ và $c$ là các số đã biết và ${a^2} + {b^2} > 0.$

+ Nghiệm của phương trinh $ax + by = c$ là một cặp số $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ sao cho $a{x_0} + b{y_0} = c.$ Ta còn nói phương trình $ax + by = c$ có nghiệm $(x;y) = \left( {{x_0};{y_0}} \right).$

+ Phương trình $ax + by = c$ luôn có vô số nghiệm. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình $ax + by = c$ là:

$\left( {x;\frac{{c – ax}}{b}} \right)$ với $x \in R$ hoặc $\left( {\frac{{c – by}}{a};y} \right)$ với $y \in R.$

+ Mỗi nghiệm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ của phương trình $ax + by = c$ được biểu diễn bởi một điểm có toạ độ $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy.$ Tập hợp các điểm $M$ có toạ độ $(x;y)$ nghiệm đúng phương trình $ax + by = c$ là một đường thẳng. Người ta gọi đường thẳng này là đường thẳng $ax + by = c$ hay đồ thị của phương trình $ax + by = c.$

$(a \ne 0,b \ne 0)$

$(a = 0,b \ne 0)$

$(a \ne 0,b = 0)$

+ Đối với phương trình bậc nhất hai ẩn, khái niệm tập nghiệm và khái niệm phương trình tương đương cũng tương tự như đối với phương trình một ẩn.

+ Ta cũng có thể áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân để biến đổi phương trình bậc nhất hai ẩn.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN

Dạng bài tập chủ yếu trong chủ đề phương trình bậc nhất hai ẩn là tìm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.

I. Phương pháp giải

+ Áp dụng công thức nghiệm tổng quát, chú ý đến hệ số khác $0.$

+ Áp dụng phương pháp vẽ đồ thị hàm bậc nhất để biểu diễn tập nghiệm.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình sau và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của nó:

a) $2x – 3y = 6.$

b) $x + 2y = 3.$

c) $\frac{1}{2}x + y = 0.$

d) $0x – 2y = 4.$

a) Từ phương trình $2x – 3y = 6$ ta có $y = \frac{{2x – 6}}{3}.$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:

$\left( {x;\frac{{2x – 6}}{3}} \right)$ với $x \in R.$

Ta có thể biểu diễn $x$ qua $y$ từ phương trình đã cho, tìm được nghiệm tổng quát là:

$\left( {\frac{{3y + 6}}{2};y} \right)$ với $y \in R.$

Chú ý: Người ta cũng viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình dưới dạng:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = t}\\

{y = \frac{{2t – 6}}{3}}

\end{array}} \right.$ $(t \in R)$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \frac{{3t + 6}}{2}}\\

{y = t}

\end{array}} \right.$ $(t \in R).$

(Ta nói rằng nghiệm của phương trình được biểu diễn qua tham số $t$).

b) Nghiệm tổng quát:

$( – 2y + 3;y)$ với $y \in R$ hoặc $\left( {x;\frac{{ – x + 3}}{2}} \right)$ với $x \in R.$

c) Nghiệm tổng quát:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \in R}\\

{y = – \frac{1}{2}x}

\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – 2y}\\

{y \in R}

\end{array}} \right..$

d) Nghiệm tổng quát:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \in R}\\

{y = – 2}

\end{array}} \right.$ hoặc $(x;y) = (t; – 2)$ với $t \in R.$

Ví dụ 2: Tìm trong hình vuông cạnh $5$ các điểm có tọa độ là những số nguyên $x$, $y$ thoả mãn phương trình $x – 2y = -4.$

Những điểm nằm trong hình vuông có toạ độ $(x;y)$ thoả mãn:

$0 < x < 5.$

$0 < y < 5.$

Từ phương trình đã cho suy ra $x = 2y – 4.$ Theo điều kiện trên ta phải có:

$2y – 4 > 0$ và $2y – 4 < 5.$

Hay $y > 2$ và $y < 4,5.$

Vì $y$ là số nguyên nên $y = 3$ hoặc $y = 4.$

Tương ứng tìm được $x = 2$, $x = 4.$

Vậy có hai điểm cần tìm là: $A(2;3)$ và $B(4;4).$

Ví dụ 3: Người ta muốn lắp một đường ống dẫn nước dài $130$ m bằng các ống nhựa loại $6$ m và $9$ m. Hỏi có thể lắp được đường dẫn nước mà không phải cắt đi một ống nhựa nào hay không? (các mối nối là không đáng kể). Cũng câu hỏi tương tự trong trường hợp dùng hai loại ống $5$ m và $9$ m?

Giả sử phải dùng $x$ ống loại $6$ m và $y$ ống loại $9$ m. Yêu cầu của bài toán có nghĩa là: Tồn tại hay không cặp số tự nhiên $(x;y)$ thoả mãn phương trình:

$6x + 9y = 130.$

Viết lại phương trình trên thành dạng:

$6x – 130 = -9y.$

Vế trái là một số chẵn, do đó $9y$ cũng là số chẵn, suy ra $y$ phải chẵn. Đặt $y = 2t$ $(t \in Z)$ ta có:

$6x – 130 = – 18t$ $ \Leftrightarrow 6x + 18t = 130$ $ \Leftrightarrow 6(x + 3t) = 130.$

Vế trái là một số nguyên chia hết cho $6$, trong khi đó vế phải không chia hết cho $6.$ Như vậy phương trình $6 x+9 y=130$ không có nghiệm nguyên.

Vậy không thể lắp được đường dẫn nước bằng hai loại ống $6$ m và $9$ m mà không phải cắt đi một ống nào.

Nếu dùng hai loại ống $5$ m và $9$ m thì có thể lắp được đường ống dài $130$ m mà không phải cắt đi một ống nào. Chẳng hạn: dùng $10$ ống loại $9$ m và $8$ ống loại $5$ m ta được: $10.9 + 8.5 = 130$ (m).

III. Bài tập

1. Các cặp số dạng $(4t + 1;3t)$ với $t \in R$ có là nghiệm của phương trình $3x – 4y = 3$ hay không? Tại sao?

2. Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $ax + by = 0$ ($a$, $b$ không đồng thời bằng $0$) có đi qua gốc toạ độ không? Vì sao?

3. Giải các phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên mặt phẳng tọa độ:

a) $3x – 4y = 12.$

b) $2x + 3y = 0.$

c) $5x + 0y = 3.$

d) $0x + 2y = 0.$

4. Trên các hình vẽ bên dưới là các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của các phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong mỗi trường hợp, hãy viết ra một phương trình tương ứng:

5. Tìm trong hình chữ nhật $ABCD$ với $A(0;2)$, $B(5;2)$, $C(5;-4)$, $D(0;-4)$ những điểm có tọa độ là những số nguyên và các điểm này nằm trên đường thẳng $2x + \frac{7}{5}y = 7.$

6. Tìm các cặp số nguyên $(x;y)$ thoả mãn mỗi phương trình sau:

a) $2x + y = 0.$

b) $x – 3y = 0.$

c) $3x – 2y = 1.$

d) $6x – 15y = 4.$

7. Đố vui:

Vừa gà vừa chó

Nhốt cùng với nhau

Tám chân lộ rõ

Bạn hãy tính mau

Mấy con mỗi loại?