giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

A. Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax + by = c$ trong đó $x$, $y$ là ẩn, $a$, $b$, $c$ là các số cho trước, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0.$

2. Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ luôn luôn có vô số nghiệm $(x;y).$

Công thức nghiệm tổng quát là:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = t \in R}\\

{y = \frac{{c – at}}{b}\:{\rm{với}}\:b \ne 0}

\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \frac{{c – bt}}{a}}\\

{y = t \in R}

\end{array}} \right.(a \ne 0).$

Chú ý: Phương trình $ax + by = c$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $c$ chia hết cho ƯCLN$(a,b).$

3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: $\left( I \right)$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{\rm{ }}ax + by = c}\\

{a’x + b’y = c’}

\end{array}} \right.$ trong đó $a$ và $b$ cũng như $a’$ và $b’$ không đồng thời bằng $0.$

Với $a’b’c’ = 0$ ta dễ dàng đưa được về các trường hợp đặc biệt đã biết.

Với $a’b’c’ ≠ 0$ thì:

+ Hệ $(I)$ có nghiệm duy nhất khi $\frac{a}{{a’}} \ne \frac{b}{{b’}}.$

+ Hệ $(I)$ vô nghiệm khi $\frac{a}{{a’}} = \frac{b}{{b’}} \ne \frac{c}{{c’}}.$

+ Hệ $(I)$ có vô số nghiệm khi $\frac{a}{{a’}} = \frac{b}{{b’}} = \frac{c}{{c’}}.$

4. Các phương pháp giải hệ phương trình:

a) Phương pháp thế

+ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho thành một hệ mới trong đó có phương trình một ẩn.

+ Giải phương trình một ẩn này rồi suy ra nghiệm của hệ.

b) Phương pháp cộng đại số

+ Nhân hai vế của mỗi phương trình với một thừa số phụ sao cho giá trị tuyệt đối của hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau.

+ Dùng quy tắc cộng đại số để được một hệ mới trong đó có một phương trình một ẩn.

+ Giải phương trình một ẩn này rồi suy ra nghiệm của hệ.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho phương trình $3x – 2y = 6$ $(1).$

a) Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình $(1).$

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(1).$

Xét $3x – 2y = 6$ $(1).$

Suy ra $y = \frac{{3x – 6}}{2}.$

Cho $x$ một giá trị $t$ tùy ý ta tính được giá trị tương ứng của $y.$

Ta được công thức nghiệm tổng quát của phương trình $(1)$ là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = t \in R}\\

{y = \frac{{3t – 6}}{2}}

\end{array}} \right.$

b) Ta có $y = \frac{{3x – 6}}{2}$ $ = \frac{{2x + x – 6}}{2}$ $ = x + \frac{{x – 6}}{2}.$

Đặt $\frac{{x – 6}}{2} = t$ $\left( {t \in Z} \right)$ suy ra $x = 2t + 6.$

Khi đó nghiệm nguyên của phương trình $(1)$ là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2t + 6}\\

{y = 2t + 6 + t}

\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2t + 6}\\

{y = 3t + 6}

\end{array}} \right.$ $(t \in Z).$

Cho $t$ một giá trị nguyên nào đó ta được một nghiệm nguyên của phương trình $(1).$ Chẳng hạn, với $t = 1$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 8}\\

{y = 9}

\end{array}} \right.$, với $t=2$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 10}\\

{y = 12}

\end{array}} \right.$

Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên $(x;y)$ của phương trình $(x – 3){y^2} = {x^2}$ $(2).$

Với $x=3$ thì $(2)$ trở thành $0.{y^2} = 9$, vô nghiệm.

Với $x \ne 3$ thì ${y^2} = \frac{{{x^2}}}{{x – 3}}$ $ = \frac{{{x^2} – 9 + 9}}{{x – 3}}$ $ = x + 3 + \frac{9}{{x – 3}}.$

Do $x,y \in Z$ nên $\frac{9}{{x – 3}} \in Z.$

Do đó $x – 3 \in {\rm{Ư}}(9) = \{ \pm 1; \pm 3; \pm 9\} .$

Ta có:

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình $(2)$ là: $(0;0)$, $(4;4)$, $(4; – 4)$, $(12;4)$, $(12; – 4).$

Nhận xét: Phương pháp giải trong ví dụ trên gọi là phương pháp tách ra các giá trị nguyên.

$\frac{{{x^2}}}{{x – 3}}$ được tách thành $x + 3 + \frac{9}{{x – 3}}.$

Vì $x + 3$ có giá trị nguyên nên $\frac{9}{{x – 3}}$ phải có giá trị nguyên, từ đó tìm được $x$ và suy ra giá trị của $y.$

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x – 5y = 19\:(1)}\\

{3x + 2y = 6\:(2)}

\end{array}} \right.$

Cách thứ nhất: (Giải bằng phương pháp thế).

+ Rút $x$ từ phương trình $(1)$: $x = 19 + 5y$ $(3).$

+ Thế $x = 19 + 5y$ vào phương trình $(2)$, ta được:

$3(19 + 5y) + 2y = 6$ $ \Leftrightarrow 57 + 15y + 2y = 6$ $ \Leftrightarrow 17y = – 51 \Leftrightarrow y = – 3.$

+ Thay $y = – 3$ vào phương trình $(3)$ được $x = 19 – 15 = 4.$

Vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 4}\\

{y = – 3}

\end{array}} \right.$

Cách thứ hai: (Giải bằng phương pháp cộng).

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x – 5y = 19\:(1)}\\

{3x + 2y = 6\:(2)}

\end{array}} \right.$

$ – \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{3x – 15y = 57}\\

{3x + 2y = 6}

\end{array}} \right.$

$ – 17y = 51$ (trừ từng vế của hai phương trình)

$ \Leftrightarrow y = – 3.$

Thay $ y = – 3$ vào $(1)$, ta được $x – 5.( – 3) = 19$ $ \Leftrightarrow x = 4.$

Vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 4}\\

{y = – 3}

\end{array}} \right.$

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{3}{{x + y}} + \frac{{10}}{{x – y}} = 1}\\

{\frac{5}{{x + y}} + \frac{6}{{x – y}} = – 1}

\end{array}} \right.$

Điều kiện $x \ne \pm y.$

Ta đặt $(I)$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{1}{{x + y}} = a}\\

{\frac{1}{{x – y}} = b}

\end{array}} \right.$

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{3a + 10b = 1\:(1)}\\

{5a + 6b = – 1\:(2)}

\end{array}} \right.$

$ – \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{15a + 50b = 5}\\

{15a + 18b = – 3}

\end{array}} \right.$

$32b = 8$ $ \Leftrightarrow b = \frac{1}{4}.$

Thay $b = \frac{1}{4}$ vào phương trình $(1)$, ta được: $3a + \frac{5}{2} = 1$ $ \Leftrightarrow 3a = \frac{{ – 3}}{2}$ $ \Leftrightarrow a = – \frac{1}{2}.$

Vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a = – \frac{1}{2}}\\

{b = \frac{1}{4}}

\end{array}} \right.$

Thay kết quả này vào hệ $(I)$, ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{1}{{x + y}} = – \frac{1}{2}}\\

{\frac{1}{{x – y}} = \frac{1}{4}}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x + y = – 2}\\

{x – y = 4}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{y = – 3}

\end{array}} \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

[ads]

Ví dụ 5. Cho hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{(m – 1)x – y = 2\:(1)}\\

{mx + y = m\:(2)}

\end{array}} \right.$

a) Tìm các giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y).$

b) Xác định $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện $x + y < 0.$

a)

+ Nếu $m=0$ thì hệ đã cho trở thành $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{ – x – y = 2}\\

{y = 0}

\end{array}} \right.$

Hệ này có nghiệm duy nhất $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – 2}\\

{y = 0}

\end{array}} \right.$

Vậy $m=0$ là một giá trị cần tìm.

+ Nếu $m≠0$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi $\frac{{m – 1}}{m} \ne \frac{{ – 1}}{1}$ $ \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}.$

b) Cộng hai phương trình của hệ, ta được: $(2m – 1)x = m + 2.$

Nếu $m \ne \frac{1}{2}$ thì $x = \frac{{m + 2}}{{2m – 1}}.$

Thay $x = \frac{{m + 2}}{{2m – 1}}$ vào phương trình $(2)$ ta được:

$y = m – mx$ $ = m(1 – x)$ $ = m\left( {1 – \frac{{m + 2}}{{2m – 1}}} \right)$ $ = \frac{{{m^2} – 3m}}{{2m – 1}}.$

Vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \frac{{m + 2}}{{2m – 1}}}\\

{y = \frac{{{m^2} – 3m}}{{2m – 1}}}

\end{array}} \right.$

Khi đó $x + y < 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{m + 2}}{{2m – 1}} + \frac{{{m^2} – 3m}}{{2m – 1}} < 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{{m^2} – 2m + 2}}{{2m – 1}} < 0$ $ \Leftrightarrow 2m – 1 < 0$ (vì ${{m^2} – 2m + 2}$ ${ = {{(m – 1)}^2} + 1 > 0}$) $ \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}.$

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình ba ẩn số $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x + 2y – 3z = 11\:(1)}\\

{2x – y – z = 7\:(2)}\\

{x + y = 6\:(3)}

\end{array}} \right.$

Rút $x$ từ phương trình $(3)$: $x = 6 – y$ $(4).$

Thế biểu thức của $x$ vào phương trình $(1)$ và $(2)$ ta được:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{6 – y + 2y – 3z = 11}\\

{2(6 – y) – y – z = 7}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{y – 3z = 5}\\

{3y + z = 5}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

y – 3z = 5\:(1′)\\

9y + 3z = 15\:(2′)

\end{array} \right.$

Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: $10y = 20$ $ \Leftrightarrow y = 2.$

Thay $y = 2$ vào phương trình $(1′)$, ta được: $2 – 3z = 5$ $ \Rightarrow z = – 1.$

Thay $y = 2$ vào phương trình $(4)$, ta được: $x = 6 – 2$ $ \Rightarrow x = 4.$

Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 4}\\

{y = 2}\\

{z = – 1}

\end{array}} \right.$ hay $(x;y;z) = (4;2; – 1).$

Nhận xét: Nói chung, để giải hệ phương trình nhiều ẩn ta có thể dùng phương pháp thế. Tùy theo đặc điểm của từng hệ phương trình ta cũng có thể dùng phương pháp cộng.

C. Bài tập

1. Cho phương trình $2x – 5y = 3$ $(1).$

a) Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình $(1).$

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình $(1).$

2. Tìm $x$ và $y$ biết $|2x + 7y – 17|$ $ + {(5x – 3y + 19)^2} = 0.$

3. Cho phương trình ${x^2} + (2a – 5)x – 3b = 0$ $(1).$ Hãy xác định các hệ số $a$ và $b$ sao cho phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1 = 2$, $x_2 = -3.$

4. Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{{27}}{{x + y}} + \frac{{21}}{{x – y}} = 2}\\

{\frac{{81}}{{x + y}} – \frac{{105}}{{x – y}} = – 2}

\end{array}} \right.$

5. Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{3x – |y – 2| = 3}\\

{6x + 5y = 7}

\end{array}} \right.$

6. Cho hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{3x + my = 10}\\

{x – y = 5}

\end{array}} \right.$ ($m$ là tham số).

a) Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm $(x;y)$ trong đó $x = 4.$

b) Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)$ thỏa mãn $5x + 2y = 32.$

7. Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{5}{6}}\\

{\frac{{y + z}}{{yz}} = \frac{4}{3}}\\

{\frac{{z + x}}{{zx}} = \frac{3}{2}}

\end{array}} \right.$

D. Hướng dẫn giải và đáp số

1. Ta có $2x – 5y = 3$ suy ra $x = \frac{{5y + 3}}{2}.$

Nghiệm tổng quát của phương trình $(1)$ là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \frac{{5t + 3}}{2}}\\

{y = t \in R}

\end{array}} \right.$

Muốn có một nghiệm cụ thể ta cho $t$ một giá trị nào đó rồi thay vào $(I).$

b) Tìm nghiệm nguyên của $(I).$

Ta có: $2x – 5y = 3$ suy ra $x = \frac{{5y + 3}}{2}$ $ = \frac{{4y + y + 3}}{2}$ $ = 2y + \frac{{y + 3}}{2}.$

Muốn có giá trị nguyên của $x$ thì ta phải có $\frac{{y + 3}}{2} = t$ $(t \in Z).$

Suy ra $y = 2t – 3$ $(t \in Z).$

Khi đó $x = 2(2t – 3) + t$ $ = 5t – 6.$

Do đó công thức nghiệm nguyên của $(I)$ là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 5t – 6}\\

{y = 2t – 3}

\end{array}} \right.$ $(t \in Z).$

2. Ta có: $|2x + 7y – 17| \ge 0$, ${(5x – 3y + 19)^2} \ge 0$, mà $|2x + 7y – 17|$ $ + {(5x – 3y + 19)^2} = 0$ nên ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{2x + 7y – 17 = 0}\\

{5x – 3y + 19 = 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – 2}\\

{y = 3}

\end{array}} \right.$

3. Vì $x = 2$ là nghiệm của $(1)$ nên $4 + (2a – 5).2 – 3b = 0$ hay $4a – 3b = 6$.

Vì $x = -3$ là nghiệm của $(1)$ nên $9 + (2a – 5).( – 3) – 3b = 0$ hay $6a + 3b = 24.$

Do đó ta được hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{4a – 3b = 6}\\

{6a + 3b = 24}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a = 3}\\

{b = 2}

\end{array}} \right.$

4. Điều kiện $x \ne \pm y.$

Đặt $(I)$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{1}{{x + y}} = a}\\

{\frac{1}{{x – y}} = b}

\end{array}} \right.$ ta được $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{27a + 21b = 2}\\

{81a – 105b = – 2}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a = \frac{1}{{27}}}\\

{b = \frac{1}{{21}}}

\end{array}} \right.$

Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{27}}}\\

{\frac{1}{{x – y}} = \frac{1}{{21}}}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x + y = 27}\\

{x – y = 21}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 24}\\

{y = 3}

\end{array}} \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

5.

+ Nếu $y \ge 2$ thì hệ phương trình đã cho trở thành: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{3x – (y – 2) = 3}\\

{6x + 5y = 7}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{3x – y = 1}\\

{6x + 5y = 7}

\end{array}} \right.$

Giải hệ này ta được $y = \frac{9}{7} < 2$ (loại).

+ Nếu $y < 2$ thì hệ phương trình đã cho trở thành: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{3x + y – 2 = 3}\\

{6x + 5y = 7}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{3x + y = 5}\\

{6x + 5y = 7}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2}\\

{y = – 1}

\end{array}} \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

6.

a) Thay $x = 4$ vào hệ phương trình đã cho ta được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{12 + my = 10}\\

{4 – y = 5}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m = 2}\\

{y = – 1}

\end{array}} \right.$

Vậy khi $m=2$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 4}\\

{y = – 1}

\end{array}} \right.$

b) Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi: $\frac{3}{1} \ne \frac{m}{{ – 1}}$ hay $m \ne – 3.$

Xét hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{5x + 2y = 32}\\

{x – y = 5}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 6}\\

{y = 1}

\end{array}} \right.$

Thay $x = 6$, $y = 1$ vào phương trình $3x + my = 10$ ta được: $3.6 + m = 10$ suy ra $m = -8$ (thỏa mãn điều kiện $m ≠-3$).

Vậy khi $m = -8$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(6;1)$ thỏa mãn điều kiện $5x + 2y = 32.$

7. Điều kiện $xyz \ne 0.$

Viết hệ đã cho dưới dạng: $(I)$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{5}{6}\:(1)}\\

{\frac{1}{z} + \frac{1}{y} = \frac{4}{3}\:(2)}\\

{\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{3}{2}\:(3)}

\end{array}} \right.$

Suy ra $2\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{{11}}{3}$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{{11}}{6}$ $(4).$

Trừ từng vế của phương trình $(4)$ lần lượt với từng vế của hệ $(I)$ ta được:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{1}{z} = 1}\\

{\frac{1}{x} = \frac{1}{2}}\\

{\frac{1}{y} = \frac{1}{3}}

\end{array}} \right.$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2}\\

{y = 3}\\

{z = 1}

\end{array}} \right.$