rút gọn và tính giá trị của biểu thức

Bài viết hướng dẫn giải bài toán rút gọn và tính giá trị của biểu thức thông qua một số ví dụ minh họa cụ thể có lời giải chi tiết.

A. Kiến thức cần nhớ

Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai ta vận dụng thích hợp các phép tính về căn thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai. Khi phối hợp các phép biến đổi căn thức với các biến đổi biểu thức có dạng phân thức cần chú ý:

• Trước tiên cần tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) đối với căn thức cũng như đối với phân thức.

$\sqrt A $ có nghĩa khi $A \ge 0.$

Ví dụ: $\frac{{\sqrt {x + 2} }}{{x – 1}}$ có nghĩa khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x + 2 \ge 0}\\

{x – 1 \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \ge – 2}\\

{x \ne 1}

\end{array}} \right..$

• Điều kiện để bỏ dấu giá trị tuyệt đối: $\sqrt {{A^2}} = |A| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{A\:{\rm{nếu}}\:A \ge 0}\\

{ – A\:{\rm{nếu}}\:A < 0}

\end{array}} \right..$

• Kết quả rút gọn để ở dạng nào là tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán.

Ví dụ: Sau khi thực hiện các phép tính và rút gọn kết quả được $P = \frac{{x – 4\sqrt x + 3}}{{x – 1}}$ (mẫu thức không chứa dấu căn). Ta cần rút gọn tiếp $P = \frac{{(\sqrt x – 1)(\sqrt x – 3)}}{{(\sqrt x – 1)(\sqrt x + 1)}}$ $ = \frac{{\sqrt x – 3}}{{\sqrt x + 1}}$ (với điều kiện $x ≠ 1$).

Đến đây có thể giải tiếp được những câu hỏi tiếp theo, như tìm $x$ để:

+ $P$ có giá trị dương.

+ $P$ có giá trị bằng k.

+ $P$ có giá trị nhỏ nhất.

… .

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức: $A = \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } – \sqrt {7 + 4\sqrt 3 } .$

$A = \sqrt {3 – 2\sqrt 3 + 1} – \sqrt {4 + 4\sqrt 3 + 3} $ $ = \sqrt {{{(\sqrt 3 – 1)}^2}} – \sqrt {{{(2 + \sqrt 3 )}^2}} $ $ = |\sqrt 3 – 1| – |2 + \sqrt 3 |$ $ = \sqrt 3 – 1 – (2 + \sqrt 3 ) = – 3.$

Nhận xét: Các biểu thức $4 – 2\sqrt 3 $, $7 + 4\sqrt 3 $ đều có dạng $m \pm p\sqrt n $ trong đó $p\sqrt n = 2ab$ với ${a^2} + {b^2} = m$. Những biểu thức như vậy đều viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức.

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức: $B = \sqrt {5 + 2\sqrt 6 } – \sqrt {5 – 2\sqrt 6 } .$

Cách thứ nhất: 

$B = \sqrt {{{(\sqrt 3 + \sqrt 2 )}^2}} – \sqrt {{{(\sqrt 3 – \sqrt 2 )}^2}} $ $ = |\sqrt 3 + \sqrt 2 | – |\sqrt 3 – \sqrt 2 |$ $ = \sqrt 3 + \sqrt 2 – (\sqrt 3 – \sqrt 2 )$ $ = 2\sqrt 2 .$

Cách thứ hai:

$B = \sqrt {5 + 2\sqrt 6 } – \sqrt {5 – 2\sqrt 6 } .$

Ta có: ${B^2} = 5 + 2\sqrt 6 + 5 – 2\sqrt 6 $ $ – 2\sqrt {(5 + 2\sqrt 6 )(5 – 2\sqrt 6 )} $ $ = 10 – 2\sqrt 1 = 8.$

Vì $B>0$ nên $B = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 .$

Nhận xét: Các biểu thức $5 + 2\sqrt 6 $ và $5 – 2\sqrt 6 $ là hai biểu thức liên hợp. Gặp những biểu thức như vậy, để tính $B$ ta có thể tính $B^2$ trước rồi sau đó suy ra $B.$

Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức: $C = \sqrt {x + 2 – 2\sqrt {x + 1} } $ $ + \sqrt {x + 2 + 2\sqrt {x + 1} } .$

ĐKXĐ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x + 1 \ge 0}\\

{x + 2 – 2\sqrt {x + 1} \ge 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \ge – 1}\\

{x + 2 \ge 2\sqrt {x + 1} }

\end{array}} \right..$

Với $x \ge – 1$ thì $x + 2 \ge 2\sqrt {x + 1} $ $ \Leftrightarrow {(x + 2)^2} \ge 4(x + 1)$ $ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 \ge 4x + 4$ $ \Leftrightarrow {x^2} \ge 0$ (luôn đúng).

Vậy ĐKXĐ là $x \ge – 1.$

Cách thứ nhất:

$C = \sqrt {x + 1 – 2\sqrt {x + 1} + 1} $ $ + \sqrt {x + 1 + 2\sqrt {x + 1} + 1} $ $ = \sqrt {{{(\sqrt {x + 1} – 1)}^2}} $ $ + \sqrt {{{(\sqrt {(x + 1} + 1)}^2}} $ $ = |\sqrt {x + 1} – 1|$ $ + |\sqrt {x + 1} + 1|.$

+ Nếu $\sqrt {x + 1} \ge 1$ (hay $x + 1 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge 0$) thì $C = \sqrt {x + 1} – 1 + \sqrt {x + 1} + 1$ $ = 2\sqrt {x + 1} .$

+ Nếu $0 \le \sqrt {x + 1} < 1$ (hay $0 \le x + 1 < 1$ $ \Leftrightarrow – 1 \le x < 0$) thì $C = 1 – \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 1} + 1 = 2.$

Cách thứ hai:

Ta có: ${C^2} = x + 2 – 2\sqrt {x + 1} $ $ + x + 2 + 2\sqrt {x + 1} $ $ + 2\sqrt {{{(x + 2)}^2} – 4(x + 1)} $ $ = 2x + 4$ $ + 2\sqrt {{x^2} + 4x + 4 – 4x – 4} $ $ = 2x + 4 + 2\sqrt {{x^2}} $ $ = 2x + 4 + 2|x|.$

+ Nếu $x \ge 0$ thì ${C^2} = 4(x + 1)$ suy ra $C = 2\sqrt {x + 1} $ (vì $C>0$).

+ Nếu $ – 1 \le x < 0$ thì ${C^2} = 2x + 4 – 2x = 4$ suy ra $C = 2$ (vì $C > 0$).

Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức:

a) $\left( {\frac{{\sqrt {14} – \sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 – 2}} + \frac{{\sqrt {15} – \sqrt 5 }}{{2\sqrt 3 – 2}}} \right):\frac{1}{{\sqrt 7 – \sqrt 5 }} = 1.$

b) $\frac{4}{{3 + \sqrt 5 }} + \frac{8}{{\sqrt 5 – 1}}$ $ – \sqrt {{{(2 – \sqrt 5 )}^2}} = 7.$

a) Xét vế trái $VT$:

$VT = \left[ {\frac{{\sqrt 7 (\sqrt 2 – 1)}}{{2(\sqrt 2 – 1)}} + \frac{{\sqrt 5 (\sqrt 3 – 1)}}{{2(\sqrt 3 – 1)}}} \right]:\frac{1}{{\sqrt 7 – \sqrt 5 }}$ $ = \left[ {\frac{{\sqrt 7 }}{2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right] \cdot \frac{{\sqrt 7 – \sqrt 5 }}{1}$ $ = \frac{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 7 – \sqrt 5 }}{1}$ $ = \frac{{7 – 5}}{2}$ $=1= VP.$

b) Xét vế trái $VT$:

$VT = \frac{{4(3 – \sqrt 5 )}}{4}$ $ + \frac{{8(\sqrt 5 + 1)}}{4} – |2 – \sqrt 5 |$ $ = 3 – \sqrt 5 + 2\sqrt 5 + 2 – (\sqrt 5 – 2)$ $ = 7 = VP.$

Nhận xét: Cách giải trên khá đơn giản nhờ có việc trục căn thức ở mẫu. Nếu quy đồng mẫu số thì việc thực hiện các phép tính rất phức tạp.

Ví dụ 5. Cho biểu thức $P = \frac{{3\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} – \frac{{2\sqrt x – 3}}{{3 – \sqrt x }}$ $ – \frac{{3(3\sqrt x – 5)}}{{x – 2\sqrt x – 3}}.$

a) Rút gọn $P.$

b) Tìm giá trị của $P$, biết $x = 4 + 2\sqrt 3 .$

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P.$

ĐKXĐ: $x \ge 0$, $x \ne 9.$

a) $P = \frac{{3\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x – 3}}{{\sqrt x – 3}}$ $ – \frac{{3(3\sqrt x – 5)}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x – 3)}}$ $ = \frac{{(3\sqrt x + 2)(\sqrt x – 3) + (2\sqrt x – 3)(\sqrt x + 1) – 3(3\sqrt x – 5)}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x – 3)}}$ $ = \frac{{3x – 9\sqrt x + 2\sqrt x – 6 + 2x + 2\sqrt x – 3\sqrt x – 3 – 9\sqrt x + 15}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x – 3)}}$ $ = \frac{{5x – 17\sqrt x + 6}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x – 3)}}$ $ = \frac{{5x – 15\sqrt x – 2\sqrt x + 6}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x – 3)}}$ $ = \frac{{(\sqrt x – 3)(5\sqrt x – 2)}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x – 3)}}$ $ = \frac{{5\sqrt x – 2}}{{\sqrt x + 1}}.$

b) Ta có: $x = 4 + 2\sqrt 3 = {(\sqrt 3 + 1)^2}$ $ \Rightarrow \sqrt x = \sqrt 3 + 1.$

Do đó $P = \frac{{5(\sqrt 3 + 1) – 2}}{{\sqrt 3 + 1 + 1}} = \frac{{5\sqrt 3 + 3}}{{\sqrt 3 + 2}}$ $ = \frac{{(5\sqrt 3 + 3)(2 – \sqrt 3 )}}{{(\sqrt 3 + 2)(2 – \sqrt 3 )}}$ $ = 7\sqrt 3 – 9.$

c) Ta có $P = \frac{{5\sqrt x – 2}}{{\sqrt x + 1}}$ $ = \frac{{5\sqrt x + 5 – 7}}{{\sqrt x + 1}}$ $ = 5 – \frac{7}{{\sqrt x + 1}}.$

Vì $\frac{7}{{\sqrt x + 1}} > 0$ nên $P$ có giá trị nhỏ nhất $⇔\frac{7}{{\sqrt x + 1}}$ lớn nhất $ \Leftrightarrow \sqrt x + 1$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow x = 0.$

Khi đó $\min P = 5 – 7 = – 2.$

Ví dụ 6. Cho biểu thức: $Q = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 2}} – \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x + 2}}{{4 – x}}} \right)$ $:\frac{{3\sqrt x – x}}{{x + 4\sqrt x + 4}}.$

a) Rút gọn $Q.$

b) Tìm $x$ để $Q=2.$

c) Tìm các giá trị của $x$ để $Q$ có giá trị âm.

ĐKXĐ: $x > 0$, $x \ne 4$, $x \ne 9.$

a) $Q = \frac{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x + 2) – 2\sqrt x (\sqrt x – 2) – (5\sqrt x + 2)}}{{(\sqrt x – 2)(\sqrt x + 2)}}$$:\frac{{\sqrt x (3 – \sqrt x )}}{{{{(\sqrt x + 2)}^2}}}$ $ = \frac{{x + 3\sqrt x + 2 – 2x + 4\sqrt x – 5\sqrt x – 2}}{{(\sqrt x – 2)(\sqrt x + 2)}}$$ \cdot \frac{{{{(\sqrt x + 2)}^2}}}{{\sqrt x (3 – \sqrt x )}}$ $ = \frac{{ – x + 2\sqrt x }}{{(\sqrt x – 2)(\sqrt x + 2)}}$$ \cdot \frac{{{{(\sqrt x + 2)}^2}}}{{\sqrt x (3 – \sqrt x )}}$ $ = \frac{{ – \sqrt x (\sqrt x – 2)}}{{(\sqrt x – 2)(\sqrt x + 2)}}$$ \cdot \frac{{{{(\sqrt x + 2)}^2}}}{{\sqrt x (3 – \sqrt x )}}$ $ = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x – 3}}.$

b) $Q = 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x – 3}} = 2$ $ \Leftrightarrow \sqrt x + 2 = 2\sqrt x – 6$ $ \Leftrightarrow – \sqrt x = – 8$ $ \Leftrightarrow \sqrt x = 8$ $ \Leftrightarrow x = 64$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

c) $Q < 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x – 3}} < 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt x – 3 < 0$ (vì $\sqrt x + 2 > 0$) $ \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Leftrightarrow x < 9.$

Kết hợp với ĐKXĐ ta có $Q < 0$ khi $0 < x < 9$ và $x \ne 4.$

[ads]

C. Bài tập

1. Rút gọn biểu thức:

a) $\frac{{15}}{{\sqrt 6 – 1}} + \frac{8}{{\sqrt 6 + 2}}$ $ + \frac{6}{{3 – \sqrt 6 }} – 9\sqrt 6 .$

b) $\frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 – \sqrt 3 }}$ $ – \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 – \sqrt 5 }}.$

2. Tính:

a) $\sqrt {14 + 6\sqrt 5 } – \sqrt {14 – 6\sqrt 5 } .$

b) $\sqrt {(\sqrt 5 + 1)\sqrt {6 – 2\sqrt 5 } } .$

3.

a) Tính ${(\sqrt[3]{2} + 1)^3} + {(\sqrt[3]{2} – 1)^3}.$

b) Tính giá trị của biểu thức $A = {x^3}y – x{y^3}$ với: $x = \frac{6}{{2\sqrt[3]{2} – 2 + \sqrt[3]{4}}}$ và $y = \frac{2}{{2\sqrt[3]{2} + 2 + \sqrt[3]{4}}}.$

4. Cho $P = \frac{{2\sqrt x + |\sqrt x – 1|}}{{3x + 2\sqrt x – 1}}.$ Rút gọn $P$ rồi tính giá trị của $P$ với $x = \frac{4}{9}$, $x = \frac{9}{4}.$

5. Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x – 2}} – \frac{{\sqrt x – 2}}{{\sqrt x + 2}} – \frac{{4x}}{{4 – x}}} \right)$$:\frac{{x + 5\sqrt x + 6}}{{x – 4}}.$

a) Rút gọn $P.$

b) Tính giá trị của $P$ khi $x = \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } – \sqrt {9 – 4\sqrt 5 } .$

c) Tìm $x$ để $P = 2.$

6. Cho biểu thức $P = \left( {\frac{{\sqrt x – 1}}{{x – 4}} – \frac{{\sqrt x + 1}}{{x – 4\sqrt x + 4}}} \right)$$ \cdot \frac{{x\sqrt x – 2x – 4\sqrt x + 8}}{{6\sqrt x – 18}}.$

a) Rút gọn $P.$

b) Tìm các giá trị của $x$ để $P > 0.$

c) Tìm các giá trị của $x$ để $P < 1.$

7. Cho biểu thức $P = \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x + 1}}$ $ + \frac{{\sqrt x – 1}}{{x – \sqrt x + 1}} – \frac{{\sqrt x – 1}}{{x – 1}}.$

a) Rút gọn $P.$

b) Tìm $x$ để $|P| = \frac{2}{3}.$

c) Chứng minh rằng với những giá trị của $x$ làm cho $P$ được xác định thì $P< 1.$

8. Cho biểu thức $P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x – 1}} + \frac{{x – \sqrt x + 6}}{{x + \sqrt x – 2}}} \right)$$:\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} – \frac{{x – \sqrt x – 2}}{{x + \sqrt x – 2}}} \right).$

a) Rút gọn $P.$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P.$

c) Tìm $x$ để $P \cdot \frac{{x – 1}}{{{x^2} + 8x}} < – 2.$

D. Hướng dẫn giải và đáp số

1. Trục căn thức ở mẫu rồi tính:

a) $\frac{{15(\sqrt 6 + 1)}}{5} + \frac{{8(\sqrt 6 – 2)}}{2}$ $ + \frac{{6(3 + \sqrt 6 )}}{3} – 9\sqrt 6 $ $ = 3\sqrt 6 + 3 + 4\sqrt 6 – 8$ $ + 6 + 2\sqrt 6 – 9\sqrt 6 = 1.$

b) $\frac{{\sqrt 2 (1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}}{{{{(1 + \sqrt 2 )}^2} – {{(\sqrt 3 )}^2}}}$ $ – \frac{{\sqrt 6 (\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 )}}{{{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )}^2} – {{(\sqrt 5 )}^2}}}$ $ = \frac{{\sqrt 2 (1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}}{{2\sqrt 2 }}$ $ – \frac{{\sqrt 6 (\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 )}}{{2\sqrt 6 }}$ $ = \frac{{1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 – \sqrt 2 – \sqrt 3 – \sqrt 5 }}{2}$ $ = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}.$

2.

a) $\sqrt {{{(3 + \sqrt 5 )}^2}} – \sqrt {{{(3 – \sqrt 5 )}^2}} $ $ = (3 + \sqrt 5 ) – (3 – \sqrt 5 )$ $ = 2\sqrt 5 .$

b) $\sqrt {(\sqrt 5 + 1).\sqrt {{{(\sqrt 5 – 1)}^2}} } $ $ = \sqrt {(\sqrt 5 + 1)(\sqrt 5 – 1)} $ $ = \sqrt 4 = 2.$

3.

a) ${(\sqrt[3]{2} + 1)^3} + {(\sqrt[3]{2} – 1)^3}$ $ = (2 + 3\sqrt[3]{4} + 3\sqrt[3]{2} + 1)$ $ + (2 – 3\sqrt[3]{4} + 3\sqrt[3]{2} – 1)$ $ = 4 + 6\sqrt[3]{2}.$

b) $x = \frac{{6(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2})}}{{{{(\sqrt[3]{4})}^3} + {{(\sqrt[3]{2})}^3}}}$ $ = \frac{{6.(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2})}}{6}$ $ = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}.$

$y = \frac{{2(\sqrt[3]{4} – \sqrt[3]{2})}}{{{{(\sqrt[3]{4})}^3} – {{(\sqrt[3]{2})}^3}}}$ $ = \frac{{2(\sqrt[3]{4} – \sqrt[3]{2})}}{2}$ $ = \sqrt[3]{4} – \sqrt[3]{2}.$

$A = {x^3}y – x{y^3}$ $ = xy(x + y)(x – y)$ $ = (\sqrt[3]{{16}} – \sqrt[3]{4}).2.\sqrt[3]{4}.2\sqrt[3]{2}$ $ = 8(2\sqrt[3]{2} – \sqrt[3]{4}).$

4. $P = \frac{{2\sqrt x + |\sqrt x – 1|}}{{(3\sqrt x – 1)(\sqrt x + 1)}}.$

ĐKXĐ: $x \ge 0$, $x \ne \frac{1}{9}.$

+ Nếu $\sqrt x – 1 \ge 0$ hay $x \ge 1$ thì $P = \frac{{2\sqrt x + \sqrt x – 1}}{{(3\sqrt x – 1)(\sqrt x + 1)}}$ $ = \frac{{3\sqrt x – 1}}{{(3\sqrt x – 1)(\sqrt x + 1)}}$ $ = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}.$

+ Nếu $\sqrt x – 1 < 0$ hay $x < 1$ thì $P = \frac{{2\sqrt x – \sqrt x + 1}}{{(3\sqrt x – 1)(\sqrt x + 1)}}$ $ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{(3\sqrt x – 1)(\sqrt x + 1)}}$ $ = \frac{1}{{3\sqrt x – 1}}.$

Với $x = \frac{4}{9} < 1$ thì $P = \frac{1}{{3\sqrt x – 1}}$ $ = \frac{1}{{3 \cdot \frac{2}{3} – 1}} = 1.$

Với $x = \frac{9}{4} > 1$ thì $P = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$ $ = \frac{1}{{\frac{3}{2} + 1}} = \frac{2}{5}.$

5.

ĐKXĐ: $x \ge 0$, $x \ne 4.$

a) $P = \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}.$

b) $x = \sqrt {{{(\sqrt 5 + 2)}^2}} – \sqrt {{{(\sqrt 5 – 2)}^2}} $ $ = \sqrt 5 + 2 – (\sqrt 5 – 2) = 4$ $ \Rightarrow \sqrt x = 2.$

Do đó: $P = \frac{{4.2}}{{2 + 3}} = \frac{8}{5}.$

c) $P = 2 \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} = 2$ $ \Leftrightarrow 4\sqrt x = 2\sqrt x + 6$ $ \Leftrightarrow 2\sqrt x = 6 \Leftrightarrow \sqrt x = 3$ $ \Leftrightarrow x = 9$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

6. ĐKXĐ: $x \ge 0$, $x \ne 4$, $x \ne 9.$

a) $P = \frac{{\sqrt x }}{{3 – \sqrt x }}.$

b) $P > 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{3 – \sqrt x }} > 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\sqrt x > 0}\\

{3 – \sqrt x > 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x > 0}\\

{\sqrt x < 3}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 0 < x < 9$ và $x \ne 4.$

c) $P < 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{3 – \sqrt x }} < 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{3 – \sqrt x }} – 1 < 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x – 3}}{{3 – \sqrt x }} < 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x – 3}}{{\sqrt x – 3}} > 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{2\sqrt x – 3 > 0\:{\rm{và}}\:\sqrt x – 3 > 0}\\

{2\sqrt x – 3 < 0\:{\rm{và}}\:\sqrt x – 3 < 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\sqrt x > \frac{3}{2}\:{\rm{và}}\:\sqrt x > 3}\\

{\sqrt x < \frac{3}{2}\:{\rm{và}}\:\sqrt x < 3}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x > \frac{9}{4}\:{\rm{và}}\:x > 9}\\

{x < \frac{9}{4}\:{\rm{và}}\:x < 9}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x > 9}\\

{x < \frac{9}{4}}

\end{array}} \right..$

Kết hợp với điều kiện xác định ta có: $P < 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x > 9}\\

{0 \le x < \frac{9}{4}}

\end{array}} \right..$

7. ĐKXĐ: $x \ge 0$, $x \ne 1.$

a) $P = \frac{{x + 2}}{{x\sqrt x + 1}}$ $ + \frac{{\sqrt x – 1}}{{x – \sqrt x + 1}} – \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$ $ = \frac{{\sqrt x }}{{x – \sqrt x + 1}}.$

b) Ta có: $\sqrt x \ge 0$, $x – \sqrt x + 1$ $ = {\left( {\sqrt x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ nên $P \ge 0$ do đó $|P| = P.$

Suy ra $|P| = \frac{2}{3}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{x – \sqrt x + 1}} = \frac{2}{3}$ $ \Leftrightarrow 2x – 5\sqrt x + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow (2\sqrt x – 1)(\sqrt x – 2) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ hoặc $x = 4.$

c) $P < 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{x – \sqrt x + 1}} < 1$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{x – \sqrt x + 1}} – 1 < 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x – x + \sqrt x – 1}}{{x – \sqrt x + 1}} < 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{ – {{(\sqrt x – 1)}^2}}}{{x – \sqrt x + 1}} < 0.$

Bất đẳng thức cuối cùng đúng (vì $x \ne 1$) nên $P < 1.$

8. ĐKXĐ: $x \ge 0$, $x \ne 1.$

a) $P = \frac{{\sqrt x + 2 + x – \sqrt x + 6}}{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x – 1)}}$$:\frac{{x – 1 – x + \sqrt x + 2}}{{(\sqrt x + 2)(\sqrt x – 1)}}$ $ = \frac{{x + 8}}{{\sqrt x + 1}}.$

b) $P = \frac{{x – 1}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{9}{{\sqrt x + 1}}$ $ = \sqrt x – 1 + \frac{9}{{\sqrt x + 1}}$ $ = \sqrt x + 1 + \frac{9}{{\sqrt x + 1}} – 2.$

$P \ge 2\sqrt {(\sqrt x + 1) \cdot \frac{9}{{\sqrt x + 1}}} – 2$ $ = 6 – 2 = 4.$ Vậy $\min P = 4$ khi $\sqrt x + 1 = \frac{9}{{\sqrt x + 1}}$ hay ${(\sqrt x + 1)^2} = 9$ $ \Leftrightarrow \sqrt x + 1 = 3$ $ \Leftrightarrow x = 4$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

Lưu ý: Phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất của $P$ trong câu này là dùng bất đẳng thức Cô-si.

c) $P.\frac{{x – 1}}{{{x^2} + 8x}}$ $ = \frac{{x + 8}}{{\sqrt x + 1}} \cdot \frac{{(\sqrt x – 1)(\sqrt x + 1)}}{{x(x + 8)}}$ $ = \frac{{\sqrt x – 1}}{x}.$

Điều kiện bổ sung là $x \ne 0.$

Ta có: $P \cdot \frac{{x – 1}}{{{x^2} + 8x}} < – 2$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x – 1}}{x} < – 2$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x – 1}}{x} + 2 < 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{2x + \sqrt x – 1}}{x} < 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{(\sqrt x + 1)(2\sqrt x – 1)}}{x} < 0$ $ \Leftrightarrow 2\sqrt x – 1 < 0$ (vì $\sqrt x + 1 > 0$) $ \Leftrightarrow x < \frac{1}{4}$. Kết hợp các điều kiện ta có $0 < x < \frac{1}{4}.$