căn bậc hai của một số

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán thường gặp về chủ đề căn bậc hai của một số trong chương trình Đại số 9.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Căn bậc hai

1. Khái niệm: Căn bậc hai của một số $a$ không âm là số $x$ sao cho ${x^2} = a.$

2. Tính chất:

Số âm không có căn bậc hai (vì $a = {x^2} \ge 0$ với mọi $x$).

Số $0$ chỉ có một căn bậc hai là $0.$

Số dương $a$ có đúng hai căn bậc hai:

+ Một số dương kí hiệu là $\sqrt a .$

+ Một số âm kí hiệu là $ – \sqrt a .$

II. Căn bậc hai số học

1. Định nghĩa: Với một số dương $a$, số $\sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a.$ Số $0$ cũng được gọi là căn bậc hai số học của $0.$

Ta viết: $x = \sqrt a $ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \ge 0}\\

{{x^2} = a}

\end{array}} \right..$

2. Phép khai phương là phép toán tìm căn thức bậc hai số học của số không âm.

3. Từ định nghĩa ta thu được hai kết quả sau:

+ Kết quả 1: Với $a \ge 0$ thì $a = {\left( {\sqrt a } \right)^2}.$

+ Kết quả 2: $\sqrt a \ge 0$ với mọi $a \ge 0.$

III. So sánh các căn bậc hai số học

Với hai số $a$ và $b$ không âm, ta có: $a < b$ $ \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b .$

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

DẠNG 1. TÌM CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ${x^2} = a.$

I. Phương pháp giải

1. Xác định dấu của số cần tìm căn để kết luận có mấy căn bậc hai.

2. Sử dụng định nghĩa để xác định căn bậc hai.

3. Nghiệm của phương trình ${x^2} = a$ là các căn bậc hai của $a.$

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của mỗi số sau:

a) $9.$

b) $\frac{9}{{16}}.$

c) $0,25.$

d) $2.$

a) Do $9 > 0$ nên $9$ có hai căn bậc hai là $3$ và $-3$ vì ${( \pm 3)^2} = 9.$

b) Do $\frac{9}{{16}} > 0$ nên $\frac{9}{{16}}$ có hai căn bậc hai là $\frac{3}{4}$ và $ – \frac{3}{4}$ vì ${\left( { \pm \frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{9}{{16}}.$

c) Do $0,25 > 0$ nên $0,25$ có hai căn bậc hai là $0,5$ và $-0,5$ vì ${( \pm 0,5)^2} = 0,25.$

d) Do $2 > 0$ nên $2$ có hai căn bậc hai là $\sqrt 2 $ và $ – \sqrt 2 $ vì ${\left( { \pm \sqrt 2 } \right)^2} = 2.$

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) ${x^2} = 1.$

b) ${x^2} = \frac{4}{9}.$

c) ${x^2} = 0,36.$

d) ${x^2} = 3.$

e) ${x^2} = 0.$

a) Do $1 > 0$ nên $1$ có hai căn bậc hai là $1$ và $-1.$

Suy ra: ${x^2} = 1$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{x = – 1}

\end{array}} \right..$

Vậy $S = \{ 1, – 1\} .$

b) Do $\frac{4}{9}>0$ nên $\frac{4}{9}$ có hai căn bậc hai là $\frac{2}{3}$ và $ – \frac{2}{3}.$

Suy ra: ${x^2} = \frac{4}{9}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \frac{2}{3}}\\

{x = – \frac{2}{3}}

\end{array}} \right..$

Vậy $S = \left\{ {\frac{2}{3}, – \frac{2}{3}} \right\}.$

c) Do $0,36 > 0$ nên $0,36$ có hai căn bậc hai là $0,6$ và $-0,6.$

Suy ra: ${x^2} = 0,36$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0,6}\\

{x = – 0,6}

\end{array}} \right..$

Vậy $S = \{ 0,6; – 0,6\} .$

d) Do $3 > 0$ nên $3$ có hai căn bậc hai là $\sqrt 3 $ và $ – \sqrt 3 .$

Do đó: ${x^2} = 3$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \sqrt 3 }\\

{x = – \sqrt 3 }

\end{array}.} \right.$

Vậy $S = \left\{ {\sqrt 3 ; – \sqrt 3 } \right\}.$

e) Do $0$ chỉ có một căn bậc hai là $0$ nên ${x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0.$

Vậy $S = \{ 0\} .$

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a) ${x^2} + 1 = 0.$

b) $2{x^2} + 3 = 0.$

a) Ta có: ${x^2} + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {x^2} = – 1.$

Vì $ – 1 < 0$ nên $-1$ không có căn bậc hai.

Phương trình vô nghiệm.

b) Ta có: $2{x^2} + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow {x^2} = – \frac{3}{2}.$

Phương trình vô nghiệm vì $ – \frac{3}{2} < 0$ không có căn bậc hai.

III. Bài tập

1. Trong các số sau, số nào là căn bậc hai số học của $9$?

$\sqrt {{{( – 3)}^2}} $, $\sqrt {{3^2}} $, $ – \sqrt {{3^2}} $, $ – \sqrt {{{( – 3)}^2}} .$

2. Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:

a) $16$, $169$, $25$, $49$, $225.$

b) $\frac{4}{{25}}$, $\frac{{25}}{{169}}$, $\frac{{64}}{{121}}$, $\frac{{169}}{{196}}$, $\frac{{81}}{{625}}.$

c) $1,21$; $0,16$; $1,96$; $2,56$; $6,25.$

3. Giải các phương trình sau:

a) $4{x^2} – 1 = 0.$

b) $9{x^2} + 2 = 0.$

c) ${(x + 1)^2} = 2.$

d) ${(x – 2)^2} = 7.$

DẠNG 2. KHAI PHƯƠNG MỘT SỐ – TÌM MỘT SỐ BIẾT CĂN BẬC HAI SỐ HỌC CỦA NÓ.

I. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học:

$x = \sqrt a $ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \ge 0}\\

{{x^2} = a}

\end{array}} \right..$

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai số học của các số sau:

a) $25.$

b) $64.$

c) $\frac{9}{{16}}.$

d) $1,44.$

a) $\sqrt {25} = 5$ vì $5 \ge 0$ và ${5^2} = 25.$

b) $\sqrt {64} = 8$ vì $8 \ge 0$ và ${8^2} = 64.$

c) $\sqrt {\frac{9}{{16}}} = \frac{3}{4}$ vì $\frac{3}{4} \ge 0$ và ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{9}{{16}}.$

d) $\sqrt {1,44} = 1,2$ vì $1,2 \ge 0$ và ${1,2^2} = 1,44.$

Ví dụ 2: Tìm số $x$ không âm biết:

a) $\sqrt x = 5.$

b) $\sqrt x = \sqrt 7 .$

c) $\sqrt x = 0.$

d) $\sqrt x = – 3.$

a) $\sqrt x = 5$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{5 \ge 0}\\

{x = {5^2}}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 25.$

Vậy $x = 25$ là giá trị cần tìm.

b) Vì $\sqrt x = \sqrt 7 $ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\sqrt 7 \ge 0}\\

{x = 7}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 7.$

Vậy $x = 7$ là giá trị cần tìm.

c) Vì $\sqrt x = 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{0 \ge 0}\\

{x = 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 0.$

Vậy $x=0$ là giá trị cần tìm.

d) $\sqrt x = – 3.$

Không tồn tại $x$ thoả mãn, vì không có căn bậc hai số học nào là một số âm.

III. Bài tập

4. Hãy giải thích vì sao không được viết: $\sqrt 4 = \pm 2.$

5. Tìm căn bậc hai số học của các số sau:

a) $36$; $121$; $144$; $169$; $225$; $256$; $289$; $324$; $361$; $400.$

b) $2,25$; $0,01$; $0,04$; $0,09$; $0,16$; $0,25.$

c) $\frac{1}{4}$; $\frac{4}{{25}}$; $\frac{{49}}{{64}}$; $\frac{{121}}{{81}}$; $\frac{{169}}{{100}}.$

6. Tìm số $x$ không âm biết:

a) $2\sqrt x = 6.$

b) $3\sqrt x = 1.$

c) $4 – 5\sqrt x = – 1.$

d) $4\sqrt x = – 3.$

7. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt x \left( {\sqrt x – 1} \right) = 0.$

b) $\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) = 0.$

c) $\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) = 0.$

DẠNG 3. SO SÁNH CÁC CĂN BẬC HAI SỐ HỌC.

I. Phương pháp giải

Sử dụng định lý: Với hai số $a$ và $b$ không âm ta có: $a < b$ $ \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b .$

II. Ví dụ

Ví dụ 1: So sánh:

a) $2$ và $\sqrt 3 .$

b) $3$ và $\sqrt 8 .$

c) $4$ và $\sqrt {17} .$

d) $5$ và $\sqrt {17} + 1.$

a) Vì $0 < 3 < 4$ nên $\sqrt 3 < \sqrt 4 = 2.$

Vậy $\sqrt 3 < 2.$

b) Vì $0 < 8 < 9$ nên $\sqrt 8 < \sqrt 9 = 3.$

Vậy $\sqrt 8 < 3.$

c) Vì $0 < 16 < 17$ nên $4 = \sqrt {16} < \sqrt {17} .$

Vậy $4 < \sqrt {17} .$

d) Vì $0 < 16 < 17$ nên $4 = \sqrt {16} < \sqrt {17} .$

Vậy $5 < \sqrt {17} + 1.$

Ví dụ 2: Tìm số $x$ không âm biết:

a) $\sqrt x > 3.$

b) $\sqrt x < 2.$

c) $\sqrt x \ge 4.$

d) $\sqrt x \le 0,1.$

a) Vì $x \ge 0$ và $3 = \sqrt 9 > 0$ nên $\sqrt x > 3$ $ \Leftrightarrow \sqrt x > \sqrt 9 $ $ \Leftrightarrow x > 9.$

Vậy $x > 9.$

b) Vì $x \ge 0$ $ \Rightarrow \sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x < 2$ $ \Leftrightarrow 0 \le \sqrt x < \sqrt 4 $ $ \Leftrightarrow 0 \le x < 4.$

c) Vì $x \ge 0$ và $4 = \sqrt {16} > 0$ nên $\sqrt x \ge 4$ $ \Leftrightarrow x \ge 16.$

Vậy $x \ge 16.$

d) Vì $x \ge 0$ $ \Rightarrow \sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x \le 0,1$ $ \Leftrightarrow 0 \le \sqrt x \le 0,1$ $ \Leftrightarrow 0 \le x \le 0,01.$

Vậy $0 \le x \le 0,01.$

III. Bài tập

8. So sánh:

a) $4$ và $\sqrt {15} .$

b) $5$ và $\sqrt {26} .$

c) $3$ và $\sqrt {15} – 1.$

d) $6$ và $\sqrt {26} + 1.$

9. Tìm số $x$ không âm biết:

a) $\sqrt x < 3.$

b) $\sqrt {2x} \le 4.$

c) $3\sqrt x > 6.$

d) $\sqrt {3x} \ge 9.$