căn bậc hai của một tích, một thương

Bài viết giới thiệu các kiến thức cần ghi nhớ và phương pháp giải các dạng toán thường gặp về chủ đề căn bậc hai của một tích, căn bậc hai của một thương.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Căn bậc hai của một tích

1. Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân kết quả với nhau.

2. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

Tổng quát: Với hai biểu thức $A$ và $B$ không âm ta có:

$\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B .$

3. Lũy thừa của một căn bậc hai.

Từ quy tắc nhân các căn bậc hai ta thu được các kết quả sau:

+ Kết quả 1: ${(\sqrt A )^2} = \sqrt {{A^2}} .$

+ Kết quả 2: ${(\sqrt A )^3} = \sqrt {{A^3}} .$

II. Căn bậc hai của một thương

1. Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương $\frac{a}{b}$, trong đó số $a$ không âm và số $b$ dương, ta có thể lần lượt khai phương số $a$ và số $b$, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.

2. Quy tắc chia hai căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của một số $a$ không âm cho căn bậc hai của một số $b$ dương, ta có thể chia số $a$ cho số $b$ rồi khai phương kết quả đó.

Tổng quát: Với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương, ta có:

$\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}.$

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1. KHAI PHƯƠNG MỘT TÍCH – NHÂN CÁC CĂN BẬC HAI.

I. Phương pháp giải

1. Áp dụng quy tắc khai phương một tích, nhân các căn bậc hai.

2. Phân tích các số trong dấu căn thành nhân tử nhằm xuất hiện bình phương.

3. Khi khai triển chú ý hằng đẳng thức ${(\sqrt a )^2} = a$ $(a \ge 0).$

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

a) $\sqrt {4.1,44.225} .$

b) $\sqrt {{2^4}.{{( – 3)}^2}} .$

c) $\sqrt {16,9.250} .$

d) $\sqrt {{3^2}{{.5}^4}} .$

a) $\sqrt {4.1,44.225} $ $ = \sqrt 4 \sqrt {1,44} \sqrt {225} $ $ = 2.1,2.15$ $ = 36.$

b) $\sqrt {{2^4}.{{( – 3)}^2}} = \sqrt {{2^4}} \sqrt {{{( – 3)}^2}} $ $ = {2^2}.| – 3| = 4.3 = 12.$

c) Vì $16,9.250 = 169.25$ nên:

$\sqrt {16,9.250} = \sqrt {169.25} $ $ = \sqrt {169} .\sqrt {25} = 13.5 = 65.$

d) $\sqrt {{3^2}{{.5}^4}} = \sqrt {{3^2}} \sqrt {{5^4}} $ $ = {3.5^2} = 75.$

Ví dụ 2: Áp dụng quy tắc nhân các căn thức, hãy tính:

a) $\sqrt 2 .\sqrt {18} .$

b) $\sqrt {1,6} .\sqrt {30} .\sqrt {48} .$

c) $\sqrt {0,4} .\sqrt {2,5} .$

d) $\sqrt {6,4} .\sqrt 5 .\sqrt {0,5} .$

a) $\sqrt 2 .\sqrt {18} = \sqrt {2.18} $ $ = \sqrt {{{(2.3)}^2}} = 6.$

b) $\sqrt {1,6} .\sqrt {30} .\sqrt {48} = \sqrt {1,6.30.48} $ $ = \sqrt {{{(4.12)}^2}} = 48.$

c) $\sqrt {0,4} .\sqrt {2,5} = \sqrt {0,4.2,5} $ $ = \sqrt 1 = 1.$

d) $\sqrt {6,4} .\sqrt 5 .\sqrt {0,5} = \sqrt {6,4.5.0,5} $ $ = \sqrt {16} = 4.$

Ví dụ 3: Khai triển:

a) ${(\sqrt 3 + \sqrt 2 )^2}.$

b) ${(\sqrt 5 – \sqrt 3 )^2}.$

c) $(2 – \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 ).$

a) ${(\sqrt 3 + \sqrt 2 )^2}$ $ = {(\sqrt 3 )^2} + 2\sqrt 3 \sqrt 2 + {(\sqrt 2 )^2}$ $ = 3 + 2\sqrt 6 + 2$ $ = 5 + 2\sqrt 6 .$

b) ${(\sqrt 5 – \sqrt 3 )^2}$ $ = {(\sqrt 5 )^2} – 2\sqrt 5 \sqrt 3 + {(\sqrt 3 )^2}$ $ = 5 – 2\sqrt {15} + 3$ $ = 8 – 2\sqrt {15} .$

c) $(2 – \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 )$ $ = {2^2} – {(\sqrt 3 )^2}$ $ = 4 – 3 = 1.$

Ví dụ 4: Làm tính nhân:

a) $(\sqrt {12} – 3\sqrt {75} )\sqrt 3 .$

b) $(\sqrt {18} – 4\sqrt {72} )2\sqrt 2 .$

c) $(\sqrt 6 – 2)(\sqrt 6 + 7).$

d) $(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-5)$

a) $(\sqrt {12} – 3\sqrt {75} )\sqrt 3 $ $ = \sqrt {12} \sqrt 3 – 3\sqrt {75} \sqrt 3 $ $ = \sqrt {36} – 3\sqrt {225} $ $ = 6 – 3.15 = – 39.$

b) $(\sqrt {18} – 4\sqrt {72} )2\sqrt 2 $ $ = \sqrt {18} .2\sqrt 2 – 4\sqrt {72} .2\sqrt 2 $ $ = 2\sqrt {36} – 8\sqrt {144} $ $ = 2.6 – 8.12 = – 84.$

c) $(\sqrt 6 – 2)(\sqrt 6 + 7)$ $ = {(\sqrt 6 )^2} + 5\sqrt 6 – 14$ $ = 6 – 14 + 5\sqrt 6 $ $ = – 8 + 5\sqrt 6 .$

d) $(\sqrt 3 + 2)(\sqrt 3 – 5)$ $ = {(\sqrt 3 )^2} – 3\sqrt 3 – 10$ $ = 3 – 3\sqrt 3 – 10$ $ = – 7 – 3\sqrt 3 .$

III. Bài tập

1. Tính:

a) $\sqrt {12.147} .$

b) $\sqrt {15.240} .$

c) $\sqrt {3.30.6,4} .$

d) $\sqrt {1,6.2,5} .$

e) $\sqrt {33.27.44} .$

f) $\sqrt {12,1.3,6.25} .$

2. Khai triển:

a) ${(\sqrt 7 + \sqrt 3 )^2}.$

b) ${(\sqrt {11} – \sqrt 5 )^2}.$

c) ${(\sqrt {13} + \sqrt 7 )^2}.$

d) ${(\sqrt x + \sqrt y )^2}.$

e) ${(\sqrt a – \sqrt b )^2}.$

f) ${(\sqrt c + \sqrt d )^2}.$

3. Làm tính nhân:

a) $(\sqrt 3 + 4)(\sqrt 3 + 1).$

b) $(\sqrt 5 – 6)(\sqrt 5 + 4).$

c) $(\sqrt x + 2)(\sqrt x – 3).$

d) $(\sqrt y – 3)(\sqrt y – 4).$

DẠNG 2. KHAI PHƯƠNG MỘT THƯƠNG – CHIA CÁC CĂN BẬC HAI.

I. Phương pháp giải

1. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, chia các căn bậc hai.

2. Giản ước các phân số trong dấu căn, làm xuất hiện bình phương của một số.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:

a) $\sqrt {\frac{{36}}{{169}}} .$

b) $\sqrt {\frac{4}{9}:\frac{{25}}{{36}}} .$

c $\sqrt {0,0144} .$

d) $\sqrt {\frac{{4,9}}{{2,5}}} .$

a) $\sqrt {\frac{{36}}{{169}}} = \frac{{\sqrt {36} }}{{\sqrt {169} }} = \frac{6}{{13}}.$

b) $\sqrt {\frac{4}{9}:\frac{{25}}{{36}}} = \sqrt {\frac{4}{9}} :\sqrt {\frac{{25}}{{36}}} $ $ = \frac{2}{3}:\frac{5}{6} = \frac{4}{5}.$

c) $\sqrt {0,0144} = \sqrt {\frac{{144}}{{10000}}} $ $ = \frac{{12}}{{100}} = 0,12.$

d) $\sqrt {\frac{{4,9}}{{2,5}}} = \sqrt {\frac{{49}}{{25}}} = \frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{7}{5}.$

Ví dụ 2: Tính:

a) $\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {50} }}.$

b) $\frac{{\sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }}.$

c) $\frac{{\sqrt {15} }}{{\sqrt {735} }}.$

d) $\frac{{\sqrt {{6^5}} }}{{\sqrt {{2^3}{{.3}^5}} }}.$

a) $\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {50} }} = \sqrt {\frac{2}{{50}}} = \sqrt {\frac{1}{{25}}} = \frac{1}{5}.$

b) $\frac{{\sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {\frac{{27}}{3}} = \sqrt 9 = 3.$

c) $\frac{{\sqrt {15} }}{{\sqrt {735} }} = \sqrt {\frac{{15}}{{735}}} = \sqrt {\frac{1}{{49}}} = \frac{1}{7}.$

d) $\frac{{\sqrt {{6^5}} }}{{\sqrt {{2^3}{{.3}^5}} }} = \sqrt {\frac{{{2^5}{{.3}^5}}}{{{2^3}{{.3}^5}}}} = \sqrt 4 = 2.$

Ví dụ 3: Tính:

a) $\sqrt {1\frac{9}{{16}}.5\frac{4}{9}.0,01} .$

b) $\sqrt {1,44.1,21 – 1,44.0,4} .$

c) $\sqrt {\frac{{{{165}^2} – {{124}^2}}}{{164}}} .$

d) $\sqrt {\frac{{{{149}^2} – {{76}^2}}}{{{{457}^2} – {{384}^2}}}} .$

a) $\sqrt {1\frac{9}{{16}}.5\frac{4}{9}.0,01} $ $ = \sqrt {\frac{{25}}{{16}}} .\sqrt {\frac{{49}}{9}} .\sqrt {0,01} $ $ = \frac{5}{4}.\frac{7}{3}.0,1 = \frac{7}{{24}}.$

b) $\sqrt {1,44.1,21 – 1,44.0,4} $ $ = \sqrt {1,44.(1,21 – 0,4)} $ $ = \sqrt {1,44.0,81} $ $ = \sqrt {1,44} .\sqrt {0,81} $ $ = 1,2.0,9 = 1,08.$

c) $\sqrt {\frac{{{{165}^2} – {{124}^2}}}{{164}}} $ $ = \sqrt {\frac{{(165 – 124)(165 + 124)}}{{164}}} $ $ = \sqrt {\frac{{41.289}}{{164}}} $ $ = \sqrt {\frac{{289}}{4}} $ $ = \frac{{17}}{2}.$

d) $\sqrt {\frac{{{{149}^2} – {{76}^2}}}{{{{457}^2} – {{384}^2}}}} $ $ = \sqrt {\frac{{(149 – 76)(149 + 76)}}{{(457 – 384)(457 + 384)}}} $ $ = \sqrt {\frac{{73.225}}{{73.841}}} $ $ = \frac{{\sqrt {225} }}{{\sqrt {841} }}$ $ = \frac{{15}}{{29}}.$

Ví dụ 4: Làm phép chia:

a) $(\sqrt {48} – \sqrt {27} + 4\sqrt {12} ):\sqrt 3 .$

b) $\left( {\sqrt {{x^2}y} – \sqrt {x{y^2}} } \right):\sqrt {xy} .$

c) $(\sqrt {20} – 3\sqrt {45} + 6\sqrt {180} ):\sqrt 5 .$

d) $(\sqrt {{a^3}b} + \sqrt {a{b^3}} – ab):\sqrt {ab} .$

a) $(\sqrt {48} – \sqrt {27} + 4\sqrt {12} ):\sqrt 3 $ $ = \sqrt {48} :\sqrt 3 – \sqrt {27} :\sqrt 3 + 4\sqrt {12} :\sqrt 3 $ $ = \sqrt {16} – \sqrt 9 + 4\sqrt 4 $ $ = 4 – 3 + 4.2 = 9.$

b) $\left( {\sqrt {{x^2}y} – \sqrt {x{y^2}} } \right):\sqrt {xy} $ $ = \sqrt {{x^2}y} :\sqrt {xy} – \sqrt {x{y^2}} :\sqrt {xy} $ $ = \sqrt x – \sqrt y .$

c) $\left( {\sqrt {20} – 3\sqrt {45} + 6\sqrt {180} } \right):\sqrt 5 $ $ = \sqrt {20} :\sqrt 5 – 3\sqrt {45} :\sqrt 5 + 6\sqrt {180} :\sqrt 5 $ $ = \sqrt 4 – 3\sqrt 9 + 6\sqrt {36} $ $ = 2 – 3.3 + 6.6 = 29.$

d) $\left( {\sqrt {{a^3}b} + \sqrt {a{b^3}} – ab} \right):\sqrt {ab} $ $ = \sqrt {{a^3}b} :\sqrt {ab} + \sqrt {a{b^3}} :\sqrt {ab} – {(\sqrt {ab} )^2}:\sqrt {ab} $ $ = \sqrt {{a^2}} + \sqrt {{b^2}} – \sqrt {ab} $ $ = a + b – \sqrt {ab} .$

III. Bài tập

1. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:

a) $\sqrt {\frac{{16}}{{289}}} .$

b) $\sqrt {\frac{{49}}{{25}}} .$

c) $\sqrt {1\frac{{15}}{{49}}} .$

d) $\sqrt {3\frac{{13}}{{81}}} .$

2. Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính:

a) $\frac{{\sqrt {1300} }}{{\sqrt {13} }}.$

b) $\frac{{\sqrt {4,8} }}{{\sqrt {0,3} }}.$

c) $\frac{{\sqrt {150} }}{{\sqrt 6 }}.$

d) $\frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {216} }}.$

3. Làm tính chia:

a) $(2\sqrt {20} – 3\sqrt {45} + 4\sqrt {80} ):\sqrt 5 .$

b) $(3\sqrt {24} + 4\sqrt {54} – 5\sqrt {96} ):\sqrt 6 .$

c) $\left( {3\sqrt {{x^2}y} – 4\sqrt {x{y^2}} + 5xy} \right):\sqrt {xy} .$

d) $\left( {\sqrt {{a^3}b} + \sqrt {a{b^3}} – 3\sqrt {ab} } \right):\sqrt {ab} .$

DẠNG 3. PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH NHÂN TỬ.

I. Phương pháp giải

1. Đặt nhân tử chung.

2. Dùng hằng đẳng thức.

3. Nhóm các số hạng.

4. Thêm, bớt nhằm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử:

a) $2 – \sqrt 2 .$

b) $5 + \sqrt 5 .$

c) $ab – \sqrt a .$

d) $\sqrt {{x^2}y} + \sqrt {x{y^2}} .$

e) $\sqrt {{x^3}y} – \sqrt {x{y^3}} .$

f) $a – \sqrt a .$

a) Vì $2 = {(\sqrt 2 )^2}$ nên $2 – \sqrt 2 $ $ = {(\sqrt 2 )^2} – \sqrt 2 .1$ $ = \sqrt 2 (\sqrt 2 – 1).$

b) $5 + \sqrt 5 $ $ = {(\sqrt 5 )^2} + 1.\sqrt 5 $ $ = \sqrt 5 (\sqrt 5 + 1).$

c) $ab – \sqrt a $ $ = {(\sqrt a )^2}b – 1.\sqrt a $ $ = \sqrt a (b\sqrt a – 1).$

d) $\sqrt {{x^2}y} + \sqrt {x{y^2}} = \sqrt {xy} (\sqrt x + \sqrt y ).$

e) $\sqrt {{x^3}y} – \sqrt {x{y^3}} $ $ = \sqrt {xy} (\sqrt {{x^2}} – \sqrt {{y^2}} )$ $ = \sqrt {xy} (x – y).$

f) $a – \sqrt a $ $ = {(\sqrt a )^2} – 1.\sqrt a $ $ = \sqrt a (\sqrt a – 1).$

Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử:

a) ${x^2} – 2.$

b) $3{x^2} – 1.$

c) $4{x^2} – 5.$

d) $\sqrt {{x^3}} + \sqrt {{y^3}} .$

e) $\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} .$

f) $\sqrt {{x^3}} – 8.$

a) ${x^2} – 2$ $ = {x^2} – {(\sqrt 2 )^2}$ $ = (x – \sqrt 2 )(x + \sqrt 2 ).$

b) $3{x^2} – 1$ $ = {(x\sqrt 3 )^2} – 1$ $ = (x\sqrt 3 – 1)(x\sqrt 3 + 1).$

c) ${x^2} – 2$ $ = {x^2} – {(\sqrt 2 )^2}$ $ = (x – \sqrt 2 )(x + \sqrt 2 ).$

d) Vì $\sqrt {{x^3}} = {(\sqrt x )^3}$, $\sqrt {{y^3}} = {(\sqrt y )^3}$ nên:

$\sqrt {{x^3}} + \sqrt {{y^3}} $ $ = {(\sqrt x )^3} + {(\sqrt y )^3}$ $ = (\sqrt x + \sqrt y )(\sqrt {{x^2}} – \sqrt {xy} + \sqrt {{y^2}} )$ $ = (\sqrt x + \sqrt y )(x – \sqrt {xy} + y).$

e) Vì $\sqrt {{a^3}} = {(\sqrt a )^3}$, $\sqrt {{b^3}} = {(\sqrt b )^3}$ nên:

$\sqrt {{a^3}} – \sqrt {{b^3}} $ $ = {(\sqrt a )^3} + {(\sqrt b )^3}$ $ = (\sqrt a – \sqrt b )(\sqrt {{a^2}} + \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} )$ $ = (\sqrt a – \sqrt b )(a + \sqrt {ab} + b).$

f) Vì $\sqrt {{x^3}} = {(\sqrt x )^3}$ nên $\sqrt {{x^3}} – 8$ $ = {(\sqrt x )^3} – {2^3}$ $ = (\sqrt x – 2)\left( {\sqrt {{x^2}} + 2\sqrt x + {2^2}} \right)$ $ = (\sqrt x – 2)(x + 2\sqrt x + 4).$

Ví dụ 3: Cho hai biểu thức:

$R = x + y + 2\sqrt {xy} .$

$Q = x + y – 2\sqrt {xy} .$

với $x \ge 0$, $y \ge 0.$

a) Hãy viết $R$, $Q$ thành bình phương một nhị thức.

b) Thay các cặp số $(x;y) = (2;3)(3;4)(7;5)$ vào $R$, $Q$ để được các bình phương một nhị thức.

a) Với $x \ge 0$, $y \ge 0$ thì $x = {(\sqrt x )^2}$, $y = {(\sqrt y )^2}$ và $\sqrt {x.y} = \sqrt x .\sqrt y .$

Nên:

$P = {(\sqrt x )^2} + {(\sqrt y )^2} + 2\sqrt {x.y} $ $ = {(\sqrt x + \sqrt y )^2}$ $(1).$

$Q = {(\sqrt x )^2} + {(\sqrt y )^2} – 2\sqrt {x.y} $ $ = {(\sqrt x – \sqrt y )^2}$ $(2).$

b) Với $x = 2$, $y = 3$ ta có:

$5 + 2\sqrt 6 $ $ = {(\sqrt 3 )^2} + {(\sqrt 2 )^2} + 2\sqrt {2.3} $ $ = {(\sqrt 2 + \sqrt 3 )^2}.$

$5 – 2\sqrt 6 $ $ = {(\sqrt 3 )^2} + {(\sqrt 2 )^2} – 2\sqrt {2.3} $ $ = {(\sqrt 2 – \sqrt 3 )^2}.$

Với $x = 3$, $y = 4$ ta có:

$7 + 2\sqrt {12} $ $ = {(\sqrt 4 )^2} + {(\sqrt 3 )^2} + 2\sqrt {4.3} $ $ = {(2 + \sqrt 3 )^2}.$

$7 – 2\sqrt {12} $ $ = {(\sqrt 4 )^2} + {(\sqrt 3 )^2} – 2\sqrt {4.3} $ $ = {(2 – \sqrt 3 )^2}.$

Với $x = 7$, $y = 5$ ta có:

$12 + 2\sqrt {35} $ $ = {(\sqrt 7 )^2} + {(\sqrt 5 )^2} + 2\sqrt {7.5} $ $ = {(\sqrt 7 + \sqrt 5 )^2}.$

$12 – 2\sqrt {35} $ $ = {(\sqrt 7 )^2} + {(\sqrt 5 )^2} – 2\sqrt {7.5} $ $ = {(\sqrt 7 – \sqrt 5 )^2}.$

Ví dụ 4: Phân tích thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các số hạng:

a) $1 + \sqrt a + \sqrt b + \sqrt {ab} .$

b) $\sqrt {ax} – \sqrt {by} – \sqrt {ay} + \sqrt {bx} .$

c) $\sqrt x + \sqrt y + \sqrt {{x^2}y} + \sqrt {x{y^2}} .$

d) $x + 2\sqrt {xy} + y – 4.$

a) $1 + \sqrt a + \sqrt b + \sqrt {ab} $ $ = 1(1 + \sqrt a ) + \sqrt b (1 + \sqrt a )$ $ = (1 + \sqrt a )(1 + \sqrt b ).$

b) $\sqrt {ax} – \sqrt {by} – \sqrt {ay} + \sqrt {bx} $ $ = \sqrt {ax} + \sqrt {bx} – \sqrt {ay} – \sqrt {by} $ $ = \sqrt x (\sqrt a + \sqrt b ) – \sqrt y (\sqrt a + \sqrt b )$ $ = (\sqrt a + \sqrt b )(\sqrt x – \sqrt y ).$

c) $\sqrt x + \sqrt y + \sqrt {{x^2}y} + \sqrt {x{y^2}} $ $ = 1.(\sqrt x + \sqrt y ) + \sqrt {xy} (\sqrt x + \sqrt y )$ $ = (\sqrt x + \sqrt y )(1 + \sqrt {xy} ).$

d) $x + 2\sqrt {xy} + y – 4$ $ = {(\sqrt x + \sqrt y )^2} – 4$ $ = (\sqrt x + \sqrt y – 2)(\sqrt x + \sqrt y + 2).$

Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử bằng cách tách hoặc thêm bớt các số hạng:

a) $x – \sqrt x – 6.$

b) $x + \sqrt x – 12.$

c) $2a + \sqrt {ab} – 3b$ với $a \ge 0$, $b \ge 0.$

d) $2a – 5\sqrt {ab} + 3b$ với $a \ge 0$, $b \ge 0.$

a) $x – \sqrt x – 6$ $ = {(\sqrt x )^2} – 3\sqrt x + 2\sqrt x – 6$ $ = \sqrt x (\sqrt x – 3) + 2(\sqrt x – 3)$ $ = (\sqrt x + 2)(\sqrt x – 3).$

b) $x + \sqrt x – 12$ $ = {(\sqrt x )^2} – 3\sqrt x + 4\sqrt x – 12$ $ = \sqrt x (\sqrt x + 4) – 3(\sqrt x + 4)$ $ = (\sqrt x + 4)(\sqrt x – 3).$

c) Với $a \ge 0$, $b \ge 0$ thì $a = {(\sqrt a )^2}$, $b = {(\sqrt b )^2}$ và $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $ nên:

$2a + \sqrt {ab} – 3b$ $ = 2{(\sqrt a )^2} + 3\sqrt {ab} – 2\sqrt {ab} – 3{(\sqrt b )^2}$ $ = \sqrt a (2\sqrt a + 3\sqrt b ) – \sqrt b (2\sqrt a + 3\sqrt b )$ $ = (2\sqrt a + 3\sqrt b )(\sqrt a – \sqrt b ).$

d) Với $a \ge 0$, $b \ge 0$ thì $a = {(\sqrt a )^2}$, $b = {(\sqrt b )^2}$ và $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $ nên:

$2a – 5\sqrt {ab} + 3b$ $ = 2{(\sqrt a )^2} – 2\sqrt {ab} – 3\sqrt {ab} + 3{(\sqrt b )^2}$ $ = 2\sqrt a (\sqrt a – \sqrt b ) – 3\sqrt b (\sqrt a – \sqrt b )$ $ = (2\sqrt a – 3\sqrt b )(\sqrt a – \sqrt b ).$

III. Bài tập

Phân tích thành nhân tử:

1.

a) $\sqrt 2 + \sqrt 6 .$

b) $\sqrt 3 + \sqrt {15} .$

c) $a + 2\sqrt a .$

d) $4 + 5\sqrt 2 .$

e) $3 + \sqrt 3 .$

f) $b + 3a\sqrt b .$

2.

a) $6x – \sqrt x – 1.$

b) $4x – 3\sqrt x – 1.$

c) $3a – 2\sqrt {ab} – b$ với $a > 0$, $b > 0.$

d) $5x + 3\sqrt {xy} – 8y$ với $x > 0$, $y > 0.$

3.

a) $10 + 2\sqrt {21} .$

b) $12 – 2\sqrt {27} .$

c) $11 + 2\sqrt {30} .$

d) $14 – 2\sqrt {45} .$

DẠNG 4. RÚT GỌN BIỂU THỨC.

I. Phương pháp giải

1. Rút gọn thường đi kèm với khai triển.

2. Rút gọn đồng nghĩa với thu gọn và giản ước.

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {2a} .\sqrt {18a} $ với $a \ge 0.$

b) $\sqrt {3a.27a{b^2}} .$

c) $\sqrt {\frac{{9{a^2}}}{{16}}} .$

d) $\sqrt {\frac{{2{a^2}{b^4}}}{{98}}} .$

a) $\sqrt {2a} .\sqrt {18a} $ $ = \sqrt {2a.18a} $ $ = \sqrt {{{(6a)}^2}} $ $ = |6a|$ $ = 6a$ vì $a \ge 0.$

b) $\sqrt {3a.27a{b^2}} = \sqrt {{{(9ab)}^2}} = |9ab|.$

c) $\sqrt {\frac{{9{a^2}}}{{16}}} = \frac{{\sqrt {9{a^2}} }}{{\sqrt {16} }}$ $ = \frac{{\sqrt 9 .\sqrt {{a^2}} }}{4} = \frac{{3|a|}}{4}.$

d) $\sqrt {\frac{{2{a^2}{b^4}}}{{98}}} = \frac{{\sqrt {{a^2}{b^4}} }}{{\sqrt {49} }}$ $ = \frac{{\sqrt {{b^4}} .\sqrt {{a^2}} }}{7} = \frac{{|a||{b^2}|}}{7}$ $ = \frac{{{b^2}|a|}}{7}.$

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {0,16{a^2}} $ với $a < 0.$

b) $\sqrt {{a^4}{{(3 – a)}^2}} $ với $a \ge 3.$

c) $\frac{y}{x}\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{y^4}}}} $ với $x > 0$, $y \ne 0.$

d) $2{y^2}\sqrt {\frac{{{x^4}}}{{4{y^2}}}} $ với $y < 0.$

a) $\sqrt {0,16{a^2}} = \sqrt {0,16} .\sqrt {{a^2}} $ $ = |0,4|.|a| = – 0,4.a$ vì $a < 0$

b) $\sqrt {{a^4}{{(3 – a)}^2}} $ $ = \sqrt {{a^4}} .\sqrt {{{(a – 3)}^2}} $ $ = \left| {{a^2}} \right|.|a – 3|$ $ = {a^2}(a – 3)$ vì ${a^2} \ge 0$ với mọi $a$ và $a \ge 3.$

c) $\frac{y}{x}\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{y^4}}}} = \frac{{y\sqrt {{x^2}} }}{{x\sqrt {{y^4}} }}$ $ = \frac{{y|x|}}{{x\left| {{y^2}} \right|}} = \frac{{yx}}{{x{y^2}}} = \frac{1}{y}$ vì $x > 0$ và ${y^2} > 0.$

d) $2{y^2}\sqrt {\frac{{{x^4}}}{{4{y^2}}}} $ $ = 2{y^2}\frac{{\sqrt {{x^4}} }}{{\sqrt {4{y^2}} }}$ $ = \frac{{2{y^2}\left| {{x^2}} \right|}}{{\sqrt 4 \sqrt {{y^2}} }}$ $ = \frac{{2{y^2}{x^2}}}{{ – 2y}} = – {x^2}y.$

Vì $y < 0$ và ${x^2} \ge 0$ với mọi $x.$

Ví dụ 3: Rút gọn phân thức:

a) $M = \frac{{\sqrt {15} – \sqrt {10} }}{{\sqrt {21} – \sqrt {14} }}.$

b) $N = \frac{{\sqrt {10} + \sqrt 6 }}{{\sqrt {30} + \sqrt {18} }}.$

c) $P = \frac{{a + \sqrt {ab} }}{{b + \sqrt {ab} }}$ với $a > 0$, $b > 0.$

d) $Q = \frac{{1 + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt {xy} }}{{1 + \sqrt y }}$ với $x > 0$, $y > 0.$

a) Vì $\sqrt {15} – \sqrt {10} $ $ = \sqrt 5 \sqrt 3 – \sqrt 5 \sqrt 2 $ $ = \sqrt 5 (\sqrt 3 – \sqrt 2 ).$

$\sqrt {21} – \sqrt {14} $ $ = \sqrt 7 \sqrt 3 – \sqrt 2 \sqrt 7 $ $ = \sqrt 7 (\sqrt 3 – \sqrt 2 ).$

Nên: $M = \frac{{\sqrt {15} – \sqrt {10} }}{{\sqrt {21} – \sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 7 }} = \sqrt {\frac{5}{7}} .$

b) Vì $\sqrt {10} + \sqrt 6 $ $ = \sqrt 2 \sqrt 5 + \sqrt 3 \sqrt 2 $ $ = \sqrt 2 (\sqrt 5 + \sqrt 3 ).$

$\sqrt {30} + \sqrt {18} $ $ = \sqrt 6 \sqrt 5 + \sqrt 6 \sqrt 3 $ $ = \sqrt 6 (\sqrt 5 + \sqrt 3 ).$

Nên: $N = \frac{{\sqrt 2 (\sqrt 5 + \sqrt 3 )}}{{\sqrt 6 (\sqrt 5 + \sqrt 3 )}}$ $ = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {\frac{2}{6}} = \sqrt {\frac{1}{3}} .$

c) Vì $a + \sqrt {ab} $ $ = {(\sqrt a )^2} + \sqrt a \sqrt b $ $ = \sqrt a (\sqrt a + \sqrt b ).$

$b + \sqrt {ab} $ $ = {(\sqrt b )^2} + \sqrt a \sqrt b $ $ = \sqrt b (\sqrt a + \sqrt b ).$

Nên: $P = \frac{{\sqrt a (\sqrt a + \sqrt b )}}{{\sqrt b (\sqrt a + \sqrt b )}}$ $ = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }} = \sqrt {\frac{a}{b}} .$

d) Vì $1 + \sqrt x + \sqrt y + \sqrt {xy} $ $ = 1(1 + \sqrt x ) + \sqrt y (1 + \sqrt x )$ $ = (1 + \sqrt x )(1 + \sqrt y ).$

Nên $Q = \frac{{(1 + \sqrt x )(1 + \sqrt y )}}{{1(1 + \sqrt y )}}$ $ = 1 + \sqrt x .$

Ví dụ 4: Rút gọn:

a) $A = \sqrt {5 + 2\sqrt 6 } – \sqrt 3 .$

b) $B = \sqrt {8 – 2\sqrt {15} } + \sqrt 5 + \sqrt 3 .$

c) $C = \sqrt {7 + 2\sqrt {10} } – \sqrt {7 – 2\sqrt {10} } .$

d) $D = \sqrt {9 – 2\sqrt {14} } – \sqrt {9 + 2\sqrt {14} } .$

a) Vì $5 + 2\sqrt 6 $ $ = {(\sqrt 3 )^2} + {(\sqrt 2 )^2} + 2\sqrt 3 \sqrt 2 $ $ = {(\sqrt 3 + \sqrt 2 )^2}.$

Nên $A = \sqrt {5 + 2\sqrt 6 } – \sqrt 3 $ $ = \sqrt {{{(\sqrt 3 + \sqrt 2 )}^2}} – \sqrt 3 $ $ = \sqrt 3 + \sqrt 2 – \sqrt 3 = \sqrt 2 .$

b) Vì $8 – 2\sqrt {15} $ $ = {(\sqrt 5 )^2} + {(\sqrt 3 )^2} – 2\sqrt 5 \sqrt 3 $ $ = {(\sqrt 5 – \sqrt 3 )^2}.$

Nên $B = \sqrt {{{(\sqrt 5 – \sqrt 3 )}^2}} + \sqrt 5 + \sqrt 3 $ $ = \sqrt 5 – \sqrt 3 + \sqrt 5 + \sqrt 3 $ $ = 2\sqrt 5 .$

c) Vì $7 + 2\sqrt {10} $ $ = {(\sqrt 5 )^2} + {(\sqrt 2 )^2} + 2\sqrt 5 \sqrt 2 $ $ = {(\sqrt 5 + \sqrt 2 )^2}.$

$7 – 2\sqrt {10} $ $ = {(\sqrt 5 )^2} + {(\sqrt 2 )^2} – 2\sqrt 5 \sqrt 2 $ $ = {(\sqrt 5 – \sqrt 2 )^2}.$

Nên $C = \sqrt {{{(\sqrt 5 + \sqrt 2 )}^2}} – \sqrt {{{(\sqrt 5 – \sqrt 2 )}^2}} $ $ = \sqrt 5 + \sqrt 2 – \sqrt 5 + \sqrt 2 $ $ = 2\sqrt 2 .$

d) Vì $9 – 2\sqrt {14} $ $ = {(\sqrt 7 )^2} + {(\sqrt 2 )^2} – 2\sqrt 7 \sqrt 2 $ $ = {(\sqrt 7 – \sqrt 2 )^2}.$

$9 + 2\sqrt {14} $ $ = {(\sqrt 7 )^2} + {(\sqrt 2 )^2} + 2\sqrt 7 \sqrt 2 $ $ = {(\sqrt 7 + \sqrt 2 )^2}.$

Nên $D = \sqrt {{{(\sqrt 7 – \sqrt 2 )}^2}} + \sqrt {{{(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}^2}} $ $ = \sqrt 7 – \sqrt 2 + \sqrt 7 + \sqrt 2 $ $ = 2\sqrt 7 $ (do $\sqrt 7 > \sqrt 2 $).

III. Bài tập

Rút gọn biểu thức:

1.

a) $\frac{{\sqrt {45{x^3}} }}{{\sqrt {5x} }}$ với $x > 0.$

b) $\frac{{\sqrt {75{y^3}} }}{{\sqrt {3{y^5}} }}$ với $y > 0.$

c) $\frac{{\sqrt {80a{b^2}} }}{{\sqrt {125a} }}$ với $a > 0$, $b > 0.$

d) $\frac{{\sqrt {81{x^4}{y^6}} }}{{\sqrt {729{x^6}{y^6}} }}$ với $x < 0$, $y \ne 0.$

2.

a) $\sqrt {9{{(x – 2)}^2}} $ với $x \le 2.$

b) $\sqrt {16{{(y – 1)}^2}} $ với $y \ge 1.$

c) $\sqrt {{x^2}{{(x + 3)}^2}} $ với $x \ge 0.$

d) $\sqrt {{y^2}{{(y – 2)}^2}} $ với $y < 0.$

3.

a) $\frac{{3 + \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }}.$

b) $\frac{{\sqrt {15} – \sqrt 5 }}{{1 – \sqrt 3 }}.$

c) $\frac{{2\sqrt 3 – \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 – \sqrt 2 }}.$

d) $\frac{{x – \sqrt x }}{{1 – \sqrt x }}.$

e) $\frac{{y – 2\sqrt y }}{{\sqrt y – 2}}.$

4.

a) $M = \frac{{x + 2\sqrt x – 3}}{{\sqrt x – 1}}.$

b) $N = \frac{{4y + 3\sqrt y – 7}}{{4\sqrt y + 7}}.$

c) $P = \frac{{x\sqrt y – y\sqrt x }}{{\sqrt x – \sqrt y }}.$

d) $Q = \frac{{x – 3\sqrt x – 4}}{{x – \sqrt x – 12}}.$

DẠNG 5. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI.

I. Phương pháp giải

Biến đổi phương trình về một trong $4$ dạng sau:

1. $\sqrt a = x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \ge 0}\\

{a = {x^2}}

\end{array}} \right.$ (định nghĩa căn bậc hai số học).

2. ${x^2} = a$ (tìm căn bậc hai của $a$).

3. $|x| = a.$

4. $\sqrt a = \sqrt b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a \ge 0}\\

{a = b}

\end{array}{\rm{ }}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{b \ge 0}\\

{a = b}

\end{array}} \right..$

II. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm $x$ biết:

a) $\sqrt {3x} = 6.$

b) $\sqrt {2x} = \sqrt 3 .$

c) $\sqrt {4(x – 1)} = 6.$

d) $\sqrt {4{{(1 – x)}^2}} – 6 = 0.$

a) $\sqrt {3x} = 6$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{6 \ge 0}\\

{3x = {6^2}}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 3x = 36$ $ \Leftrightarrow x = 12.$ Vậy $x = 12$ là giá trị cần tìm.

b) $\sqrt {2x} = \sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{3 > 0}\\

{2x = 3}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 2x = 3$ $ \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.$ Vậy $x = \frac{3}{2}$ là giá trị cần tìm.

c) $\sqrt {4(x – 1)} = 6$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{6 \ge 0}\\

{4(x – 1) = {6^2}}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 4(x – 1) = 36$ $ \Leftrightarrow x – 1 = 9$ $ \Leftrightarrow x = 10.$

Vậy $x = 10$ là giá trị cần tìm.

d) $\sqrt {4{{(1 – x)}^2}} – 6 = 0$ $ \Leftrightarrow |2(x – 1)| = 6$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{2(x – 1) = 6}\\

{2(x – 1) = – 6}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 4}\\

{x = – 2}

\end{array}} \right..$

Vậy $x = 4$ và $x = -2$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

a) $\sqrt 2 x – \sqrt 6 = 0.$

b) $\sqrt 3 x + \sqrt 3 = \sqrt {12} + \sqrt {27} .$

c) $\sqrt 6 {x^2} – \sqrt {20} = 0.$

d) $\frac{{{x^2}}}{{\sqrt 3 }} – \sqrt {12} = 0.$

a) $\sqrt 2 x – \sqrt 6 = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 x = 6$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{6}{2}} = \sqrt 3 .$ Vậy $S = \{ \sqrt 3 \} .$

b) $\sqrt 3 x + \sqrt 3 $ $ = \sqrt {12} + \sqrt {27} $ $ \Leftrightarrow \sqrt 3 (x + 1) = \sqrt 3 (\sqrt 4 + \sqrt 9 )$ $ \Leftrightarrow x + 1 = 2 + 3$ $ \Leftrightarrow x = 4.$

Vậy $S = \{ 4\} .$

c) $\sqrt 5 {x^2} – \sqrt {20} = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt 5 {x^2} = \sqrt {20} $ $ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{\sqrt {20} }}{{\sqrt 5 }}$ $ = \sqrt {\frac{{20}}{5}} = \sqrt 4 = 2.$

Vì $2 > 0$ nên có hai căn bậc hai là $\sqrt 2 $ và $ – \sqrt 2 .$ Suy ra ${x^2} = 2$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \sqrt 2 }\\

{x = – \sqrt 2 }

\end{array}} \right..$

Vậy $S = \{ \sqrt 2 ; – \sqrt 2 \} .$

Ví dụ 3: Giải phương trình:

a) $(\sqrt x – 7)(\sqrt x – 8) = x + 11.$

b) $(\sqrt x + 3)(\sqrt x – 5) = x – 17.$

c) $1 – \frac{{2\sqrt x – 5}}{6} = \frac{{3 – \sqrt x }}{4}.$

d) ${(\sqrt x + 3)^2} – x + 3 = 0.$

a) $(\sqrt x – 7)(\sqrt x – 8) = x + 11.$

$ \Leftrightarrow x – 15\sqrt x + 56 = x + 11.$

$ \Leftrightarrow 56 – 11 = x – x + 15\sqrt x .$

$ \Leftrightarrow 45 = 15\sqrt x .$

$ \Leftrightarrow 3 = \sqrt x \Leftrightarrow x = 9.$

Vậy $S = \{ 9\} .$

b) $(\sqrt x + 3)(\sqrt x – 5) = x – 17.$

$ \Leftrightarrow x – 2\sqrt x – 15 = x – 17.$

$ \Leftrightarrow – 15 + 17 = x – x + 2\sqrt x .$

$ \Leftrightarrow 2 = 2\sqrt x $ $ \Leftrightarrow \sqrt x = 1$ $ \Leftrightarrow x = 1.$

Vậy $S = \{ 1\} .$

c) $1 – \frac{{2\sqrt x – 5}}{6} = \frac{{3 – \sqrt x }}{4}.$

$ \Leftrightarrow 1 – \frac{{2(2\sqrt x – 5)}}{{12}} = \frac{{3 – \sqrt x }}{4}.$

$ \Leftrightarrow 12 – 2(2\sqrt x – 5) = 3(3 – \sqrt x ).$

$ \Leftrightarrow 12 – 4\sqrt x + 10 = 9 – 3\sqrt x .$

$ \Leftrightarrow 12 + 10 – 9 = – 3\sqrt x + 4\sqrt x $ $ \Leftrightarrow 13 = \sqrt x $ $ \Leftrightarrow 169 = x.$

Vậy $S = \{ 169\} .$

d) ${(\sqrt x + 3)^2} – x + 3 = 0.$

$ \Leftrightarrow x – 2\sqrt x + 1 – x + 3 = 0.$

$ \Leftrightarrow 4 = 2\sqrt x \Leftrightarrow x = 4.$

Vậy $S = \{ 4\} .$

III. Bài tập

Giải phương trình:

1.

a) $\sqrt {5x} = 15.$

b) $\sqrt {3x} = \sqrt 6 .$

c) $\sqrt {9(x – 2)} = 6.$

d) $\sqrt {9{{(x – 3)}^2}} = 12.$

2.

a) $2\sqrt {2x} – \sqrt 8 = 0.$

b) $\sqrt 6 x + \sqrt 6 = \sqrt {54} + \sqrt {24} .$

c) $\sqrt 7 {x^2} – \sqrt {63} = 0.$

d) $\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {10} }} – \sqrt {12,1} = 0.$

3.

a) $(\sqrt x – 3)(\sqrt x + 2) = x – 10.$

b) ${(\sqrt x – 2)^2} – x + 8 = 0.$

c) $\frac{{\sqrt x – 1}}{2} – \frac{{\sqrt x + 2}}{3} = \sqrt x – 1.$

d) $x – (\sqrt x – 4)(\sqrt x – 5) = – 38.$