vị trí tương đối của hai mặt phẳng

montoan.vn giới thiệu đến bạn đọc bài viết vị trí tương đối của hai mặt phẳng thuộc chương trình Hình học 12 chương 3: phương pháp tọa độ trong không gian.

1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có phương trình:

$(P): Ax + By +Cz + D = 0$, ${A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0.$

$(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0$, $A{‘^2} + B{‘^2} + C{‘^2} \ne 0.$

Có $3$ vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$:

+ Cắt nhau: $A:B:C \ne A’:B’:C’.$

+ Trùng nhau: $\frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} = \frac{D}{{D’}}.$

+ Song song: $\frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} \ne \frac{D}{{D’}}.$

Chú ý: Cho mặt phẳng $(P):Ax + By + Cz + D = 0.$

Hai điểm ${M_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và ${M_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ nằm về hai phía của mặt phẳng $(P)$ khi và chỉ khi: $\left( {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + {D_1}} \right)\left( {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} \right) < 0.$

Hai điểm ${M_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và ${M_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ nằm cùng phía của mặt phẳng $(P)$ khi và chi khi: $\left( {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + {D_1}} \right)\left( {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} \right) > 0.$

2. Một số bài toán minh họa

Bài toán 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:

a) $x + 2y – z + 5 = 0$ và $2x + 3y – 7z – 4 = 0.$

b) $x – 2y + z – 3 = 0$ và $2x – 4y + 2z – 6 = 0.$

c) $x + y + z – 1 = 0$ và $2x + 2y + 2z + 3 = 0.$

a) Hai VTPT là $\vec n = (1;2; – 1)$ và $\overrightarrow {n’} = (2;3; – 7).$

Hai vectơ pháp tuyến không cùng phương nên hai mặt phẳng cắt nhau.

b) Các hệ số của hai phương trình mặt phẳng tương ứng tỉ lệ nên hai mặt phẳng trùng nhau.

c) Ta có: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ne \frac{{ – 1}}{3}$ nên hai mặt phẳng song song.

Bài toán 2: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình sau:

a) $3x – 2y + 3z + 5 = 0$ và $9x – 6y – 9z – 5 = 0.$

b) $x – y + 2z – 4 = 0$ và $10x – 10y + 20z – 40 = 0.$

c) $2x – 4y + 6z – 2 = 0$ và $3x – 6y + 9z + 3 = 0.$

a) Ta có $3:( – 2):3 \ne 9:( – 6):( – 9)$ nên hai mặt phẳng cắt nhau.

b) $\frac{1}{{10}} = \frac{{ – 1}}{{ – 10}} = \frac{2}{{20}} = \frac{{ – 4}}{{ – 40}}$ nên hai mặt phẳng trùng nhau.

c) Ta có $\frac{2}{3} = \frac{{ – 4}}{{ – 6}} = \frac{6}{9} \ne \frac{{ – 2}}{3}$ nên hai mặt phẳng song song.

Bài toán 3: Xác định giá trị của $m$ và $n$ để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:

a) $2x + ny + 2z + 3 = 0$ và $mx + 2y – 4z + 7 = 0.$

b) $2x + y + mz – 2 = 0$ và $x + ny + 2z + 8 = 0.$

a) Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi $\frac{2}{m} = \frac{n}{2} = \frac{2}{{ – 4}} \ne \frac{3}{7}.$

Vậy $n = – 1$, $m = – 4.$

b) Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi $\frac{2}{1} = \frac{1}{n} = \frac{m}{2} \ne \frac{{ – 2}}{8}.$

Vậy $m = 4$, $n = \frac{1}{2}.$

Bài toán 4: Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng: $(P):2x – y – 3z + 1 = 0$, $(Q):x + 3y – 2z – 2 = 0$ và mặt phẳng $(R):mx – (m + 1)y + (m + 5)z + 2 = 0$ với $m$ là một số thay đổi.

a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau.

b) Tìm $m$ để cho mặt phẳng $(R)$ song song với mặt phẳng $(P).$

a) Ta có $2:( – 1):( – 3) \ne 1:3:( – 2)$ nên hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau.

b) Điều kiện mặt phẳng $(R)$ song song với mặt phẳng $(P)$ là: $\frac{m}{2} = \frac{{ – (m + 1)}}{{ – 1}} = \frac{{m + 5}}{{ – 3}} \ne \frac{2}{1}.$

Từ $\frac{m}{2} = \frac{{ – (m + 1)}}{{ – 1}}$ ta suy ra $m= -2.$

Giá trị $m= -2$ thoả điều kiện nên với $m=-2$ thì hai mặt phẳng $(R)$ và $(P)$ song song.

Bài toán 5: Hãy xác định giá trị của $m$ để các cặp mặt phẳng sau đây vuông góc với nhau:

a) $3x – 5y + mz – 3 = 0$ và $x + 3y + 2z + 5 = 0.$

b) $5x + y – 3z – 2 = 0$ và $2x + my – 3z + 1 = 0.$

a) Hai VTPT $\vec n = (3; – 5;m)$, $\overrightarrow {n’} = (1;3;2).$

Điều kiện $2$ mặt phẳng vuông góc là: $\vec n.\overrightarrow {n’} = 0$ $ \Leftrightarrow 3.1 + ( – 5).3 + m.2 = 0$ $ \Leftrightarrow m = 6.$

b) Hai VTPT $\vec n = (5;1; – 2)$, $\overrightarrow {n’} = (2;m; – 3).$

Điều kiện $2$ mặt phẳng vuông góc là: $\vec n.\overrightarrow {n’} = 0$ $ \Leftrightarrow 5.2 + 1.m + ( – 3).( – 3) = 0$ $ \Leftrightarrow m = – 19.$

Bài toán 6: Cho hai mặt phẳng có phương trình là: $2x – my + 3z – 6 + m = 0$ và $(m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0.$

a) Với giá trị nào của $m$ thì hai mặt phẳng đó song song; trùng nhau; cắt nhau.

b) Với giá trị nào của $m$ thì hai mặt phẳng đó vuông góc.

a) Hai mặt phẳng đã cho có các vectơ pháp tuyến lần lượt là:

$\overrightarrow {{n_1}} (2; – m;3)$ và $\overrightarrow {{n_2}} = (m + 3; – 2;5m + 1).$

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right]$ $ = \left( { – 5{m^2} – m + 6; – 7m + 7;{m^2} + 3m – 4} \right).$

Hai vectơ đó cùng phương khi và chỉ khi $\left[ {{{\vec n}_1};{{\vec n}_2}} \right] = \vec 0$, tức là:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{ – 5{m^2} – m + 6 = 0}\\

{ – 7m + 7 = 0}\\

{{m^2} + 3m – 4 = 0}

\end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m = 1,m = – \frac{6}{5}}\\

{m = 1}\\

{m = 1,m = – 4}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = 1.$

Khi đó hai mặt phẳng có phương trình là $2x – y + 3z – 5 = 0$ và $4x – 2y + 6z – 10 = 0$ nên chúng trùng nhau.

Vậy không có giá trị $m$ nào để hai mặt phẳng đó song song.

Khi $m=1$ thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.

Khi$m \ne 1$ thì hai mặt phẳng đó cắt nhau.

b) Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0$ $ \Leftrightarrow 2(m + 3) + 2m + 3(5m + 1) = 0$ $ \Leftrightarrow 19m + 9 = 0$ $ \Leftrightarrow m = – \frac{9}{{19}}.$

Bài toán 7: Cho ba mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(R)$ lần lượt có các phương trình sau:

$Ax + By + Cz + {D_1} = 0$, $Bx + Cy + Az + {D_2} = 0$, $Cx + Ay + Bz + {D_3} = 0$ với điều kiện ${A^2} + {B^2} + {C^2} > 0.$

Chứng minh nếu $AB + BC + CA = 0$ thì ba mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(R)$ đôi một vuông góc với nhau.

Các vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(R)$ lần lượt là: $\overrightarrow {{n_P}} = (A;B;C)$, $\overrightarrow {{n_Q}} = (B;C;A)$, $\overrightarrow {{n_R}} = (C;A;B).$

Ta có:

$\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = AB + BC + CA = 0.$

$\overrightarrow {{n_Q}} .\overrightarrow {{n_R}} = AB + BC + CA = 0.$

$\overrightarrow {{n_R}} .\overrightarrow {{n_P}} = AB + BC + CA = 0.$

no.nr = AB + BC + CA = 0. và na no = AB + BC + CA = 0.

Vậy ba mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(R)$ đôi một vuông góc với nhau.

Bài toán 8: Xác định các giá trị $p$ và $m$ để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng: $5x + py + 4z + m = 0$, $3x – 7y + z – 3 = 0$, $x – 9y – 2z + 5 = 0.$

Các điểm chung trên hai mặt phẳng $3x – 7y + z – 3 = 0$ và $x – 9y – 2z + 5 = 0$ có toạ độ thoả mãn hệ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{3x – 7y + z – 3 = 0}\\

{x – 9y – 2z + 5 = 0}

\end{array}} \right. .$

Cho $y = 0$ $ \Rightarrow x = \frac{1}{7}$, $z = \frac{{18}}{7}$ suy ra $A\left( {\frac{1}{7};0;\frac{{18}}{7}} \right).$

Cho $z = 0$ $ \Rightarrow x = \frac{{31}}{{10}}$, $y = \frac{9}{{10}}$ suy ra $B\left( {\frac{{31}}{{10}};\frac{9}{{10}};0} \right).$

Ba mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng khi mặt phẳng $5x + py + 4z + m = 0$ đi qua hai điểm $A$ và $B.$

Thay toạ độ của các điểm $A$, $B$ vào phương trình mặt phẳng $5x + py + 4z + m = 0.$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{5}{7} + \frac{{72}}{7} + m = 0}\\

{\frac{{155}}{{10}} + \frac{{9p}}{{10}} + m = 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m = – 11}\\

{p = – 5}

\end{array}} \right. .$

Vậy $m = -11$ và $p = -5.$

Bài toán 9: Chứng tỏ rằng các mặt phẳng $(\alpha )$, $(\beta )$, $(\gamma )$, $(\delta )$ sau đây là các mặt phẳng chứa bốn mặt của một hình hộp chữ nhật:

$(\alpha ):7x + 4y – 4z + 30 = 0.$

$(\beta ):36x – 51y + 12z + 17 = 0.$

$(\gamma ):7x + 4y – 4z – 6 = 0.$

$(\delta ):12x – 17y + 4z – 3 = 0.$

Mặt phẳng $(\alpha )$ song song với mặt phẳng $(\gamma )$ vì: $\frac{7}{{14}} = \frac{4}{8} = \frac{{ – 4}}{{ – 8}} \ne \frac{{30}}{{ – 12}}.$

Mặt phẳng $(\beta )$ song song với mặt phẳng $(\delta )$ vì: $\frac{{36}}{{12}} = \frac{{ – 51}}{{ – 17}} = \frac{{12}}{4} \ne \frac{{17}}{{ – 3}}.$

Mặt phẳng $(\alpha )$ vuông góc với mặt phẳng $(\beta )$ vì: $7.36 + 4( – 51) + ( – 4).12$ $ = 252 – 204 – 48 = 0.$

Vậy bốn mặt phẳng $(\alpha )$, $(\beta )$, $(\gamma )$, $(\delta )$ là các mặt phẳng chứa bốn mặt của một hình hộp chữ nhật trong đó: $(\alpha )//(\gamma )$ và $(\beta )//(\delta )$ và $(\alpha ) \bot (\beta ).$