bài toán tương giao hàm phân thức hữu tỉ chứa tham số

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm điều kiện tham số liên quan đến bài toán tương giao của hàm phân thức hữu tỉ trong chương trình Giải tích 12: ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Cho hàm số có dạng: $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ (điều kiện $ad – bc \ne 0$).

Đường thẳng $d:y = mx + n.$

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

$\frac{{ax + b}}{{cx + d}} = mx + n$ (điều kiện $x \ne – \frac{d}{c}$).

$ \Leftrightarrow ax + b = (cx + d)(mx + n)$ $ \Leftrightarrow g(x) = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0$ $(1).$

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $ – \frac{d}{c}$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{a_1} \ne 0;\Delta > 0}\\

{g\left( { – \frac{d}{c}} \right) > 0}

\end{array}} \right..$

Nhận xét:

+ Nếu $A$, $B$ là giao điểm của của hai đồ thị thì $A\left( {{x_1};m{x_1} + n} \right)$ và $B\left( {{x_2};m{x_2} + n} \right)$ với ${x_1}$, ${x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $(1).$

+ Nếu hai giao điểm $A$, $B$ thuộc hai nhánh của đồ thị thì ta có ${x_A} < – \frac{d}{c} < {x_B}.$

+ Nếu hai giao điểm $A$, $B$ cùng thuộc một nhánh của đồ thị hàm số thì ta có ${x_A}$, ${x_B} > – \frac{d}{c}$ hoặc ${x_A}$, ${x_B} < – \frac{d}{c}.$

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số $m$ để đường thẳng $y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 2}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho:

a) Hai điểm $A$, $B$ thuộc về cùng một nhánh của đồ thị hàm số.

b) Độ dài đoạn thẳng $AB = 2\sqrt 3 .$

c) Diện tích tam giác $OAB$ bằng $4\sqrt 3 $ với $O$ là gốc tọa độ.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{{x – 2}}{{x – 1}} = x + m$ (điều kiện $x \ne 1$).

$ \Leftrightarrow x – 2 = (x + m)(x – 1)$ $ \Leftrightarrow {x^2} + (m – 2)x + 2 – m = 0.$

$ \Leftrightarrow {x^2} + (m – 2)x + 2 – m = 0$ $(1).$

Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta = {{(m – 2)}^2} – 4(2 – m) > 0}\\

{{1^2} + m – 2 + 2 – m \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta = {m^2} – 4 > 0}\\

{1 \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m > 2}\\

{m < – 2}

\end{array}} \right..$

Gọi ${x_1}$, ${x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $(1).$

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}

{x_{1}+x_{2}=2-m} \\

{x_{1} x_{2}=2-m}

\end{array}\right.$

a) Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị hàm số $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} > 1$, ${x_2} > 1$ hoặc ${x_1} < 1$, ${x_2} < 1$ $ \Leftrightarrow \left( {{x_1} – 1} \right)\left( {{x_2} – 1} \right) > 0$ $ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0.$

$ \Leftrightarrow (2 – m) – (2 – m) + 1 > 0$ $ \Leftrightarrow 1 > 0$ (luôn đúng).

Vậy với $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m > 2}\\

{m < – 2}

\end{array}} \right.$ thì đường thẳng $d$ luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị hàm số.

b) Ta có $A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right)$ và $B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right)$ do đó $AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)}^2}} .$

$ \Leftrightarrow A{B^2} = 2{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2}.$

$ \Leftrightarrow A{B^2} = 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 8{x_2}{x_1}$ $ = 2{(2 – m)^2} – 8(2 – m)$ $ = 2{m^2} – 8.$

Theo giả thiết, ta có $AB = 2\sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow A{B^2} = 12$ $ \Leftrightarrow 12 = 2{m^2} – 8$ $ \Leftrightarrow m = \pm 2\sqrt 5 .$

c) Ta có ${S_{OAB}} = \frac{1}{2}d(O;AB).AB$ với $AB:y = x + m$ $ \Leftrightarrow x – y + m = 0.$

$ \Rightarrow d(O;AB) = \frac{{|m|}}{{\sqrt 2 }}.$

Khi đó ta có $4\sqrt 3 = \frac{1}{2}.\frac{{|m|}}{{\sqrt 2 }}.\sqrt {2{m^2} – 8} $ $ \Leftrightarrow 8\sqrt 3 = |m|.\sqrt {{m^2} – 4} .$

$ \Leftrightarrow {m^4} – 4{m^2} – 192 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{m^2} = 16}\\

{{m^2} = – 12\:\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = \pm 4.$

Ví dụ 2. Cho hàm số $y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}$ $(C).$ Đường thẳng $d:y=2x+m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho:

a) Trọng tâm của tam giác $OAB$ thuộc đường thẳng ${d_1}:y = – x + \frac{1}{3}$ với $O$ là gốc tọa độ.

b) Độ dài đoạn thẳng $AB$ nhỏ nhất.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{{x + 3}}{{x + 1}} = 2x + m$ (điều kiện $x \ne – 1$) $ \Leftrightarrow x + 3 = (x + 1)(2x + m).$

$ \Leftrightarrow 2{x^2} + (m + 1)x + m – 3 = 0$ $(1).$

Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta = {{(m + 1)}^2} – 4.2.(m – 3) > 0}\\

{2{{( – 1)}^2} + (m + 1)( – 1) + m – 3 \ne 0}

\end{array}} \right..$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta = {m^2} – 6m + 25 > 0}\\

{ – 2 \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow {(m – 3)^2} + 16 > 0$ (luôn đúng).

Gọi ${x_1}$, ${x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $(1).$

Áp dụng định lí Vi-et, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x_1} + {x_2} = \frac{{ – (m + 1)}}{2}}\\

{{x_1}{x_2} = \frac{{m – 3}}{2}}

\end{array}} \right..$

a) Giả sử $A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right)$ và $B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right)$ do đó trọng tâm $G$ của tam giác $OAB$ là $G\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 0}}{3};\frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2m}}{3}} \right)$ $ \Leftrightarrow G\left( {\frac{{ – (m + 1)}}{6};\frac{{m – 1}}{3}} \right).$

Theo bài ra ta có $G \in {d_1}:y = – x + \frac{1}{3}.$

$ \Rightarrow \frac{{m – 1}}{3} = \frac{{m + 1}}{6} + \frac{1}{3}$ $ \Leftrightarrow 2m – 2 = m + 1 + 2$ $ \Leftrightarrow m = 5.$

b) Ta có $A{B^2} = {\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2} + {\left( {2{x_2} + m – 2{x_1} – m} \right)^2}.$

$ = 5{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2}$ $ = 5{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} – 20{x_2}{x_1}$ $ = 5.\frac{{{{(m + 1)}^2}}}{4} – 20.\frac{{m – 3}}{2}.$

$ = \frac{5}{4}.\left[ {{m^2} – 6m + 25} \right]$ $ = \frac{5}{4}\left[ {{{(m – 3)}^2} + 16} \right]$ $ \ge \frac{5}{4}.16 = 20.$

Do đó $A{B_{\min }} = 2\sqrt 5 $ khi $m = 3.$

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=-x+m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt?

A. $( – \infty ;2 – 2\sqrt 3 ) \cup (2 + 2\sqrt 3 ; + \infty ).$

B. $(2 – 2\sqrt 3 ;2 + 2\sqrt 3 ).$

C. $( – \infty ;2 – 2\sqrt 3 ].$

D. $( – 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 ).$

Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{{x + 2}}{{x – 1}} = – x + m$ (điều kiện $x \ne 1$).

$ \Leftrightarrow x + 2 = – {x^2} + (m + 1)x – m$ $ \Leftrightarrow {x^2} – mx + m + 2 = 0$ $(1).$

Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta = {m^2} – 4(m + 2) > 0}\\

{{1^2} – m.1 + m \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow {m^2} – 4m – 8 > 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m > 2 + 2\sqrt 3 }\\

{m < 2 – 2\sqrt 3 }

\end{array}} \right..$

Chọn đáp án A.

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = – 2x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 2}}$ tại hai điểm phân biệt thuộc về cùng một nhánh của đồ thị.

A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m > 6 + 2\sqrt 6 }\\

{m < 6 – 2\sqrt 6 }

\end{array}} \right..$

B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m > 6 + 2\sqrt 3 }\\

{m < 6 – 2\sqrt 3 }

\end{array}} \right..$

C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m > 6}\\

{m < 6}

\end{array}} \right..$

D. $ – 6 < m < 6.$

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{{2x – 1}}{{x – 2}} = – 2x + m$ (điều kiện $x \ne 2$).

$ \Leftrightarrow 2x – 1 = – 2{x^2} + (m + 4)x – 2m.$

$ \Leftrightarrow 2{x^2} – (m + 2)x + 2m – 1 = 0$ $(1).$

Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $2.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta = {{(m + 2)}^2} – 4.2(2m – 1) > 0}\\

{{{2.2}^2} – (m + 2)2 + 2m – 1 \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta = {m^2} – 12m + 12 > 0}\\

{3 \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m > 6 + 2\sqrt 6 }\\

{m < 6 – 2\sqrt 6 }

\end{array}} \right..$

Áp dụng định lí Vi-et, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x_1} + {x_2} = \frac{{m + 2}}{2}}\\

{{x_1}{x_2} = \frac{{2m – 1}}{2}}

\end{array}} \right..$

Để hai giao điểm thuộc về cùng một nhánh của đồ thị:

$ \Leftrightarrow \left( {{x_1} – 2} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) > 0$ $ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} – 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{2m – 1}}{2} – 2.\frac{{m + 2}}{2} + 4 > 0.$

$ \Leftrightarrow \frac{3}{2} > 0$ (luôn đúng).

Chọn đáp án A.

Bài 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [ – 10;10]$ để đồ thị hàm số $y = \frac{{2x}}{{x – 1}}$ cắt $d: y=-x+ m$ tại hai điểm phân biệt.

A. $15.$

B. $16.$

C. $20.$

D. $21.$

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{{2x}}{{x – 1}} = – x + m$ $ \Leftrightarrow 2x = – {x^2} + (m + 1)x – m$ $ \Leftrightarrow {x^2} + (1 – m)x + m = 0$ $(1).$

Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta = {{(1 – m)}^2} – 4m > 0}\\

{{1^2} + 1 – m + m \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{m^2} – 6m + 1 > 0}\\

{2 \ne 0}

\end{array}} \right..$

Mà $m \in Z$, $m \in [ – 10;10]$ nên $m \in \{ – 10; – 9; \ldots ;0;6;7;8;9;10\} .$

Chọn đáp án B.

Bài 4. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số $m \in ( – 6;10)$ biết đường thẳng $d:y=-x+m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 3}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt.

A. $30.$

B. $40.$

C. $34.$

D. $21.$

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{{x – 3}}{{x + 1}} = – x + m$ (điều kiện $x \ne – 1$) $ \Leftrightarrow x – 3 = – {x^2} + (m – 1)x + m.$

$ \Leftrightarrow {x^2} + (2 – m)x – m – 3 = 0$ $(1).$

Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta = {{(2 – m)}^2} – 4( – m – 3) > 0}\\

{{{( – 1)}^2} – 2 + m – m – 3 \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{m^2} + 16 > 0}\\

{ – 4 \ne 0}

\end{array}} \right.$ (luôn đúng).

Theo bài ra ta có $m \in ( – 6;10)$ $ \Rightarrow m \in \{ – 5; – 4; – 3; \ldots ;0;1; \ldots ;9\} .$

Do đó tổng các giá trị cần tìm của $m$ là $S = ( – 5) + ( – 4) + \ldots + 0 + 1 + \ldots + 9 = 30.$

Chọn đáp án A.

Bài 5. Tính tổng bình phương các giá trị của tham số $m$ sao cho đường thẳng $d:y=-x- m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 2}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho $MN = \sqrt {26} .$

A. $26.$

B. $25.$

C. $17.$

D. $10.$

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:

${\frac{{x – 2}}{{x – 1}} = – x – m}$ (điều kiện ${x \ne 1}$) $ \Leftrightarrow x – 2 = – {x^2} + (1 – m)x + m.$

$ \Leftrightarrow {x^2} + mx – m – 2 = 0$ $(1).$

Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $1.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta = {m^2} + 4(m + 2) > 0}\\

{1 + m – m – 2 \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{{(m + 2)}^2} + 4 > 0}\\

{ – 1 \ne 0}

\end{array}} \right.$ (luôn đúng).

Áp dụng định lí Vi-et, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x_1} + {x_2} = – m}\\

{{x_1}{x_2} = – m – 2}

\end{array}} \right..$

Khi đó gọi $M\left( {{x_1}; – {x_1} – m} \right)$, $N\left( {{x_2}; – {x_2} – m} \right)$ $ \Rightarrow M{N^2} = {\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2} + {\left( { – {x_2} + {x_1}} \right)^2}.$

$ = 2{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2}$ $ = 2\left[ {{{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}^2} – 4{x_2}{x_1}} \right]$ $ = 2\left( {{m^2} + 4m + 8} \right).$

Theo bài ra ta có $2\left( {{m^2} + 4m + 8} \right) = 26$ $ \Leftrightarrow {m^2} + 4m – 5 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m = 1}\\

{m = – 5}

\end{array}} \right..$

Do đó tổng cần tìm là $S = {1^2} + {( – 5)^2} = 26.$

Chọn đáp án A.

Bài 6. Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {\frac{5}{2};4} \right)$ có hệ số góc $m.$ Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $M$ là trung điểm $AB.$

A. $m=-3.$

B. $m=-2.$

C. $m = 2.$

D. $m=1.$

Phương trình đường thẳng $d:y = m\left( {x – \frac{5}{2}} \right) + 4.$

Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{{x + 1}}{{x – 1}} = m\left( {x – \frac{5}{2}} \right) + 4.$

$ \Leftrightarrow 2x + 2$ $ = 2m{x^2} – (7m – 8)x + 5m – 8$ $ \Leftrightarrow 2m{x^2} – (7m – 6)x + 5m – 10 = 0$ $(1).$

Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $1.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m \ne 0}\\

{\Delta = {{(7m – 6)}^2} – 4.2m.(5m – 10) > 0}\\

{2m – (7m – 6) + 5m – 10 \ne 0}

\end{array}} \right..$

Áp dụng định lí Vi-et, ta có: ${x_1} + {x_2} = \frac{{7m – 6}}{{2m}}.$

Khi đó $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$, $B\left( {{x_2};{y_2}} \right).$

Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên:

${x_1} + {x_2} = 2{x_M} = 5$ $ \Leftrightarrow \frac{{7m – 6}}{{2m}} = 5$ $ \Leftrightarrow m = – 2$ (thỏa mãn).

Chọn đáp án B.

Bài 7. Cho hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.$ Tìm $m$ để đường thẳng $d: y=-2x+ m$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm $M$, $N$ sao cho ${S_{OMN}} = \frac{{3\sqrt {17} }}{4}$ với $O$ là gốc tọa độ.

A. ${ \pm 1}$.

B. ${ \pm \frac{1}{2}}$.

C. ${ \pm 3}$.

D. ${ \pm 2}$.

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = – 2x + m$ (điều kiện $x \ne – 1$) $ \Leftrightarrow 2x + 3$ $ = – 2{x^2} + (m – 2)x + m.$

$ \Leftrightarrow 2{x^2} – (m – 4)x + 1 – m = 0$ $(1).$

Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $-1.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta = {{(m – 4)}^2} – 4.2.(1 – m) > 0}\\

{2.{{( – 1)}^2} – (m – 4)( – 1) + 1 – m \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{m^2} + 8 > 0}\\

{ – 1 \ne 0}

\end{array}} \right.$ (luôn đúng).

Áp dụng định lí Vi-et, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x_1} + {x_2} = \frac{{m – 4}}{2}}\\

{{x_1}{x_2} = \frac{{1 – m}}{2}}

\end{array}} \right..$

Gọi $M\left( {{x_1}; – 2{x_1} + m} \right)$, $N\left( {{x_2}; – 2{x_2} + m} \right).$

Khi đó $M{N^2} = {\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2} + {\left( { – 2{x_2} + 2{x_1}} \right)^2}$ $ = 5{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2}$ $ = 5{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} – 20{x_1}{x_2}.$

$ = 5{\left( {\frac{{m – 4}}{2}} \right)^2} – 20.\frac{{1 – m}}{2}$ $ = \frac{5}{4}\left[ {{m^2} + 8} \right].$

Ta có $d(O;MN)$ $ = d(O;d)$ $ = \frac{{|m|}}{{\sqrt 5 }}$ $ \Rightarrow {S_{OMN}} = \frac{1}{2}.\frac{{|m|}}{{\sqrt 5 }}.\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\sqrt {{m^2} + 8} .$

$ \Leftrightarrow 4.\frac{{3\sqrt {17} }}{4} = |m|.\sqrt {{m^2} + 8} $ $ \Leftrightarrow {m^4} + 8{m^2} – 153 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{m^2} = 9}\\

{{m^2} = – 17\:\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = \pm 3.$

Chọn đáp án C.

Bài 8. Cho hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y = mx + 2 – m.$ Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho tam giác $ABC$ cân tại $C(2;-1).$

A. $m = \frac{4}{3}.$

B. $m = – \frac{5}{3}.$

C. $m = – \frac{2}{3}.$

D. $m = \frac{1}{3}.$

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị là:

$\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} = mx + 2 – m$ (điều kiện $x \ne 1$) $ \Leftrightarrow m{x^2} – 2mx + m – 3 = 0$ $(1).$

Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $1.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m \ne 0}\\

{\Delta ‘ = {m^2} – m(m – 3) > 0}\\

{m – 2m + m – 3 \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m > 0.$

Áp dụng định lí Vi-et, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x_1} + {x_2} = 2}\\

{{x_1}{x_2} = \frac{{m – 3}}{m}}

\end{array}} \right..$

Gọi $I$ là trung điểm $AB$ thì ${x_I} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 1$ mà $I \in AB$ $ \Rightarrow I \in d$ $ \Rightarrow I(1;2).$

Ta có đường thẳng $IC$ có hệ số góc là ${k_{IC}} = \frac{{{y_C} – {y_I}}}{{{x_C} – {x_I}}} = – 3.$

Theo giả thiết $\Delta ABC$ cân tại $C$ nên $IC \bot AB.$

$ \Leftrightarrow {k_{IC}}.{k_d} = – 1$ $ \Leftrightarrow m.( – 3) = – 1$ $ \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}.$

Chọn đáp án D.

Bài 9. Cho hàm số $y = \frac{{2x – 4}}{{x + 1}}.$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho đường thẳng $y=-x+ m$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $B$, $C$ sao cho tứ giác $OABC$ là hình bình hành với $A(-5;5)$ và $O$ là gốc tọa độ.

A. $m=2.$

B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m = 0}\\

{m = 2}

\end{array}} \right..$

C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m = 1}\\

{m = 3}

\end{array}} \right..$

D. $m=-2.$

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{{2x – 4}}{{x + 1}} = – x + m$ (điều kiện $x \ne – 1$) $ \Leftrightarrow {x^2} + (3 – m)x – 4 – m = 0$ $(1).$

Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ khác $-1.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta = {{(3 – m)}^2} – 4( – 4 – m) > 0}\\

{{{( – 1)}^2} + (3 – m)( – 1) – 4 – m \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{m^2} – 2m + 25 > 0}\\

{ – 6 \ne 0}

\end{array}} \right.$ (luôn đúng).

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x_1} + {x_2} = m – 3}\\

{{x_1}{x_2} = – 4 – m}

\end{array}} \right..$

Giả sử $B\left( {{x_1}; – {x_1} + m} \right)$, $C\left( {{x_2}; – {x_2} + m} \right)$ thì:

$B{C^2} = 2{\left( {{x_2} – {x_1}} \right)^2}$ $ = 2{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} – 8{x_1}{x_2}$ $ = 2{m^2} – 4m + 50.$

Ta có đường thẳng $OA:y = – x$ và $OA = \sqrt {50} $ mà $CB:y = – x + m.$

Do đó theo yêu cầu bài toán ta có $OA // CB$ và $OA = CB.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m \ne 0}\\

{2{m^2} – 4m + 50 = 50}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

m \ne 0\\

\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m = 0}\\

{m = 2}

\end{array}} \right.

\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow m = 2.$

Chọn đáp án A.

Bài 10. Cho hàm số $y = \frac{x}{{1 – x}}$ có đồ thị $(C)$ và điểm thỏa mãn $A(-1;1).$ Tìm $m$ để đường thẳng $d: y = mx – m–1$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho $A{M^2} + A{N^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $m=-2.$

B. $m=-1.$

C. $m=1.$

D. $m= -3.$

Phương trình hoành độ giao điểm là:

${\frac{x}{{1 – x}} = mx – m – 1}$ (điều kiện ${x \ne 1}$) $ \Leftrightarrow m{x^2} – 2mx + m + 1 = 0$ $(1).$

Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m \ne 0}\\

{\Delta = {m^2} – m(m + 1) > 0}\\

{m – 2m + m + 1 \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m < 0.$

Giả sử ${x_M}$, ${x_N}$ là nghiệm của $(1)$, theo định lý Vi-et, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x_M} + {x_N} = 2}\\

{{x_M}{x_N} = \frac{{m + 1}}{m}}

\end{array}} \right..$

Gọi $I$ là trung điểm của $MN$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = 1}\\

{{y_I} = m{x_I} – m – 1 = – 1}

\end{array}} \right..$

Ta có $A{M^2} + A{N^2} = 2A{I^2} + \frac{{M{N^2}}}{2}$ nên $A{M^2} + A{N^2}$ nhỏ nhất khi $M{N^2}$ nhỏ nhất.

$M{N^2}$ $ = {\left( {{x_M} – {x_N}} \right)^2}$ $ + {\left( {\left( {m{x_M} – m – 1} \right) – \left( {m{x_N} – m – 1} \right)} \right)^2}$ $ = \left( {{m^2} + 1} \right){\left( {{x_M} – {x_N}} \right)^2}.$

$ = \left( {{m^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right)}^2} – 4{x_M}{x_N}} \right)$ $ = \left( {{m^2} + 1} \right)\left( {4 – 4\frac{{m + 1}}{m}} \right)$ $ = 4\left( { – m + \frac{1}{{ – m}}} \right) \ge 8.$

Dấu bằng xảy ra khi $ – m = \frac{1}{{ – m}}$ và $m <0$ suy ra $m=-1.$

Chọn đáp án B.

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 3}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt.

A. $( – \infty ; – 1) \cup (3; + \infty ).$

B. $(4; + \infty ).$

C. (-1 ;+\infty)

D. $\forall m.$

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = 2x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{x – 2}}$ tại hai điểm phân biệt.

A. $( – \infty ;1) \cup (3; + \infty ).$

B. $\forall m.$

C. $(1;3).$

D. $[0; + \infty ).$

Bài 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [ – 12;12]$ để đường thẳng $d:y = 2mx + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 3}}{{x – 1}}$ tại hai điểm phân biệt thuộc về cùng một nhánh của đồ thị hàm số.

A. $22.$

B. $8.$

C. $7.$

D. $25.$

Bài 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 2$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 2}}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho $I(1;3)$ là trung điểm $MN.$

A. $m=-4.$

B. $m=1.$

C. $m=2.$

D. $m=-1.$

Bài 5. Tính tổng bình phương các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = 2x – m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{3x – 1}}{{x + 2}}$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $AB = \sqrt {10} .$

A. $226.$

B. $25.$

C. $149.$

D. $65.$

Bài 6. Tính tổng tất cả các giá trị thực của $m$ để đường thẳng $y = x + m – 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $AB = 2\sqrt 3 .$

A. $8.$

B. $6.$

C. $4.$

D. $10.$

Bài 7. Cho hàm số $y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}$ có đồ thị $(C).$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho đường thẳng $d: y=x-m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ thỏa mãn điểm $G(2;-2)$ là trọng tâm của tam giác $OAB.$

A. $m = 4.$

B. $m=-3.$

C. $m=6.$

D. $m=7.$

Bài 8. Cho hàm số $y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}$ $(C).$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d: y = 2x + m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $m= -2.$

B. $m= 3.$

C. $m=4.$

D. $m=-1.$

Bài 9. Cho hàm số $y = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}$ có đồ thị $(C).$ Biết có hai giá trị tham số $m$ để đường thẳng $d: y=2x+ m$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ và cắt tiệm cận đứng của $(C)$ tại điểm $M$ sao cho $M{A^2} + M{B^2} = 25$ là ${m_1}$, ${m_2}.$ Tính tổng $S = m_1^2 + m_2^2.$

A. $S =61.$

B. $S = 146.$

C. $S=37.$

D. $S = 269.$

Bài 10. Có bao nhiêu số nguyên $m$ sao cho đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ và $MN \le 6$?

A. $10.$

B. $11.$

C. $4.$

D. $3.$

V. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. A.

2. B.

3. C.

4. B.

5. A.

6. A.

7. C.

8. B.

9. B.

10. C.