tìm nguyên hàm bằng cách liên kết

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm nguyên hàm bằng cách liên kết, giúp học sinh học tốt chương trình Giải tích 12: Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng.

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Giả sử cần lấy nguyên hàm của hàm số $f(x)$ mà gặp khó khăn. Nếu tìm được một hàm số $g(x)$ sao cho có thể lấy nguyên hàm của các hàm số $f(x) + g(x)$ và $f(x) – g(x)$, thì ta sẽ lấy hai nguyên hàm này và bằng cách giải hệ phương trình sẽ suy ra nguyên hàm của $f(x).$

B. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH

DẠNG 1. LIÊN KẾT CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC.

1. Phương pháp:

+ Chọn hàm liên kết thích hợp.

+ Tìm nguyên hàm của tổng và hiệu các hàm liên kết.

+ Giải hệ phương trình để xác định nguyên hàm cần tìm.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho $I = \int {\frac{{\sin xdx}}{{\sin x + \cos x}}} $ và $J = \int {\frac{{\cos xdx}}{{\sin x + \cos x}}} .$ Tính $I + J$ và $I – J.$ Suy ra giá trị của $I$ và $J$?

Lời giải:

$I + J$ $ = \int {\frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} $ $ = \int {1.dx} = x + {C_1}.$

$I – J$ $ = \int {\frac{{\sin x – \cos x}}{{\cos x + \sin x}}dx} $ $ = \int {\frac{{ – (\cos x + \sin x)’}}{{\cos x + \sin x}}dx} $ $ = – \ln |\cos x + \sin x| + {C_2}.$

$ \Rightarrow 2I$ $ = x – \ln |\cos x + \sin x|$ $ + {C_1} + {C_2}.$

$2J$ $ = x + \ln |\cos x + \sin x|$ $ + {C_1} – {C_2}.$

Vậy: $I = \frac{1}{2}\left[ {x – \ln |\cos x + \sin x|} \right] + C.$

$J = \frac{1}{2}\left[ {x + \ln |\cos x + \sin x|} \right] + C.$

Ví dụ 2. Tính: $I = \int {{{\cos }^2}} x\cos 2xdx$ và $J = \int {{{\sin }^2}} x\cos 2xdx.$

Lời giải:

Ta có:

$I + J$ $ = \int {\cos 2xdx} $ $ = \frac{1}{2}\sin 2x + {C_1}$ $(1).$

$I – J$ $ = \int {\left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right)} \cos 2xdx$ $ = \int {{{\cos }^2}} 2xdx.$

$I – J$ $ = \frac{1}{2}\int {(1 + \cos 4x)dx} $ $ = \frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right) + {C_2}$ $(2).$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{I + J = \frac{1}{2}\sin 2x + {C_1}\,\,\,(1)}\\

{I – J = \frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right) + {C_2}\,\,\,(2)}

\end{array}} \right..$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{I = \frac{1}{4}\left( {x + \sin 2x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right) + C}\\

{J = – \frac{1}{4}\left( {x – \sin 2x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right) + C}

\end{array}} \right..$

Ví dụ 3. Tính $I = \int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}}dx} .$

Lời giải:

Đặt $J = \int {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos 2x}}dx.} $

Ta có: $I + J$ $ = \int {\left( {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}} + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos 2x}}} \right)dx} $ $ = \int {\frac{1}{{\cos 2x}}dx.} $

$ = \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + {C_1}.$

$I – J$ $ = \int {\frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\cos 2x}}dx} $ $ = \int {\frac{{\cos 2x}}{{\cos 2x}}dx} $ $ = \int {1dx} $ $ = x + {C_2}.$

Suy ra: $2I$ $ = x + \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|$ $ + {C_1} + {C_2}.$

Vậy $I = \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\ln \left| {\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C.$

DẠNG 2. LIÊN KẾT HÀM MŨ VÀ LÔGARÍT.

1. Phương pháp: Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần kết hợp với phương pháp liên kết.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tính: $I = \int {{e^{ax}}.\cos bxdx} $ và $J = \int {{e^{ax}}.\sin bxdx.} $

Lời giải:

Tính $I:$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = {e^{ax}}\quad \Rightarrow u’ = a.{e^x}}\\

{v’ = \cos bx \Rightarrow v = \frac{1}{b}\sin bx}

\end{array}} \right..$

$ \Rightarrow I = \frac{1}{b}{e^{ax}}.\sin bx – \frac{a}{b}\int {{e^{ax}}\sin bxdx} .$

$ = \frac{1}{b}{e^{ax}}.\sin bx – \frac{a}{b}.J$ $(1).$

Tính $J:$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = {e^{ax}}\quad \Rightarrow u’ = a.{e^{ax}}}\\

{v’ = \sin bx \Rightarrow v = – \frac{1}{b}\cos bx}

\end{array}} \right..$

$ \Rightarrow J = – \frac{1}{b}{e^{ax}}.\cos bx + \frac{a}{b}\int {{e^{ax}}.\cos bxdx} .$

$ = – \frac{1}{b}{e^{ax}}.\cos bx + \frac{a}{b}.I$ $(2).$

Thay $(2)$ vào $(1):$ $I = \frac{1}{b}{e^{ax}}.\sin bx$ $ – \frac{a}{b}\left( { – \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos bx + \frac{a}{b}I} \right).$

Vậy $I = \frac{{{e^{ax}}(a\cos bx + b\sin bx)}}{{{a^2} + {b^2}}} + C.$

Tương tự thay $(1)$ vào $(2)$ ta được: $J = \frac{{{e^{ax}}(a\sin bx – b\cos bx)}}{{{a^2} + {b^2}}} + C.$

Ví dụ 2. Cho $I = \int {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}} $ và $J = \int {\frac{{{e^{ – x}}dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}} .$ Tính $I + J$ và $I – J.$ Suy ra giá trị của $I$ và $J.$

Lời giải:

Ta có: $I + J$ $ = \int {\left( {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}} + \frac{{{e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}} \right)dx} $ $ = \int {1.dx} = x + {C_1}.$

$I – J$ $ = \int {\left( {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}} – \frac{{{e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}} \right)dx} .$

$ = \int {\frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}dx} $ $ = \int {\frac{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)’}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}dx} .$

$ = \ln \left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right) + {C_2}.$

$ \Rightarrow 2I = x + \ln \left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right) + {C_1} + {C_2}.$

$2J = x – \ln \left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right) + {C_1} – {C_2}.$

Vậy:

$I = \frac{1}{2}\left[ {x + \ln \left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)} \right] + C.$

$J = \frac{1}{2}\left[ {x – \ln \left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)} \right] + C’.$

Ví dụ 3. Tính: $I = \int {\cos (\ln x)dx} $ và $J = \int {\sin (\ln x)dx} .$

Lời giải:

Để tính $I = \int {\cos (\ln x)dx} $ ta dùng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = \cos (\ln x) \Rightarrow du = – \frac{{\sin (\ln x)}}{x}dx}\\

{dv = dx\quad \Rightarrow v = x}

\end{array}} \right..$

Ta có: $I = \int {\cos (\ln x)dx} $ $ = x\cos (\ln x) + \int {\sin (\ln x)dx} $ $ = x\cos (\ln x) + J$ $(1).$

Tương tự, bằng cách đặt: $u = \sin (\ln x)$ và $dv = dx$, ta lại tính được: $J = x\sin (\ln x) – I$ $(2).$

Từ $(1)$ và $(2):$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{I = x\cos (\ln x) + J}\\

{J = x\sin (\ln x) – I}

\end{array}} \right.$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{I = \frac{1}{2}x\left[ {\cos (\ln x) + \sin (\ln x)} \right] + {C_1}}\\

{J = \frac{1}{2}x\left[ {\sin (\ln x) – \cos (\ln x)} \right] + {C_2}}

\end{array}} \right..$

C. BÀI TOÁN TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{{{\cos }^4}x}}{{{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x}}.$

Bài 2. Tính $I = \int {\left( {a{{\cos }^2}wt + b{{\sin }^2}wt} \right)dt.} $

D. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1. Với $g(x) = \frac{{{{\sin }^4}x}}{{{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x}}.$ Ta có: $f(x) + g(x) = 1.$

Và $f(x) – g(x)$ $ = \frac{{{{\cos }^4}x – {{\sin }^4}x}}{{{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x}}$ $ = \frac{{\cos 2x}}{{1 – \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x}}.$

$ = \frac{{2\cos 2x}}{{2 – {{\sin }^2}2x}}$ $ = \frac{{(\sin 2x)’}}{{2 – {{\sin }^2}2x}}.$

Vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{F(x) + G(x) = x + {C_1}}\\

{F(x) – G(x) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sin 2x}}{{\sqrt 2 – \sin 2x}}} \right| + {C_2}}

\end{array}} \right..$

$ \Rightarrow F(x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sin 2x}}{{\sqrt 2 – \sin 2x}}} \right| + C.$

Bài 2. Đặt $J = \int {\left( {b{{\cos }^2}wt + a{{\sin }^2}wt} \right)dt} .$ Ta có:

$I + J$ $ = \int {(a + b)dt} $ $ = (a + b)t + {C_1}$ $(1).$

$I – J$ $ = \int {(a – b)} \cos 2wtdt$ $ = \frac{{a – b}}{{2w}}\sin 2wt + {C_2}$ $(2).$

Từ $(1)$ và $(2)$ $ \Rightarrow I = \frac{{a – b}}{{4w}}\sin 2wt$ $ + \frac{{a + b}}{2}t + C.$

Chú ý: Ta có thể tính trực tiếp $I$ bằng cách biến đổi:

${\cos ^2}wt = \frac{{1 + \cos 2wt}}{2}$ và ${\sin ^2}wt = \frac{{1 – \cos 2wt}}{2}$ rồi thay vào vẫn đạt được kết quả.