Bài viết hướng dẫn phương pháp tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Giải tích 12 chương 3.
1. Phương pháp tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối
Muốn tính tích phân $I = \int_a^b | f(x)|dx$, ta thức hiện theo các bước sau:
+ Xét dấu hàm $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ để mở dấu giá trị tuyệt đối.
+ Áp dụng công thức: $\int_a^b | f(x)|dx$ $ = \int_a^c | f(x)|dx + \int_c^b | f(x)|dx.$
2. Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính tích phân: $I = \int_{ – 3}^3 {\left| {{x^2} – 1} \right|} dx.$
Ta có: $I = \int_{ – 3}^3 {\left| {{x^2} – 1} \right|} dx$ $ = \int_{ – 3}^{ – 1} {\left( {{x^2} – 1} \right)} dx$ $ + \int_{ – 1}^1 {\left( { – {x^2} + 1} \right)} dx$ $ + \int_1^3 {\left( {{x^2} – 1} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – x} \right)} \right|_{ – 3}^{ – 1}$ $ + \left. {\left( { – \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ – 1}^1$ $ + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – x} \right)} \right|_1^3$ $ = – \frac{1}{3} + 1 + 9 – 3 – \frac{1}{3} + 1$ $ – \frac{1}{3} + 1 + 9 – 3 – \frac{1}{3} + 1$ $ = \frac{{44}}{3}.$
Vậy $I = \int_{ – 3}^3 {\left| {{x^2} – 1} \right|} dx = \frac{{44}}{3}.$
Ví dụ 2: Tính tích phân: $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} – 4x + 3} \right|} dx.$
Ta có bảng xét dấu:
Nên $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} – 4x + 3} \right|} dx$ $ = \int_0^1 {\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)} dx$ $ + \int_1^2 {\left( { – {x^2} + 4x – 3} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1$ $ + \left. {\left( { – \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} – 3x} \right)} \right|_1^2 = 2.$
Vậy $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} – 4x + 3} \right|} dx = 2.$
Ví dụ 3: Tính tích phân: ${I_{(m)}} = \int_0^1 {\left| {{x^2} – 2x + m} \right|} dx.$
Đặt $f(x) = {x^2} – 2x + m$ có $\Delta’ = 1 – m.$
+ Khi $m \ge 1$ $ \Leftrightarrow \Delta’ = 1 – m \le 0$ $ \Rightarrow f(x) \ge 0$ $\forall x \in R.$
Do đó ${I_{(m)}} = \int_0^1 {\left| {{x^2} – 2x + m} \right|} dx$ $ = \int_0^1 {\left( {{x^2} – 2x + m} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + mx} \right)} \right|_0^1$ $ = m – \frac{2}{3}.$
+ Khi $0 < m < 1$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta’ = 1 – m > 0}\\
{f(0) = m > 0}\\
{f(1) = m – 1 < 0}
\end{array}} \right.$
Phương trình $f(x) = m$ có hai nghiệm ${x_1} < {x_2}.$
Do đó ta có $0 < {x_1} < 1 < {x_2}$ với ${x_1},{x_2} = 1 \pm \sqrt {1 – m} .$
Hay ta có:
Nên: ${I_{(m)}} = \int_0^1 {\left| {{x^2} – 2x + m} \right|} dx$ $ = \int_0^{{x_1}} {\left( {{x^2} – 2x + m} \right)} dx$ $ + \int_{{x_1}}^1 {\left( { – {x^2} + 2x – m} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + mx} \right)} \right|_0^{{x_1}}$ $ + \left. {\left( { – \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} – mx} \right)} \right|_{{x_1}}^1$ $ = 2\left[ {\frac{{x_1^3}}{3} – x_1^2 + m{x_1}} \right] + \frac{2}{3} – m.$
Thế ${x_1} = 1 – \sqrt {1 – m} $ vào ta có:
${I_m} = \frac{2}{3}(1 – \sqrt {1 – m} )$$\left[ {{{(1 – \sqrt {1 – m} )}^2} – 3(1 – \sqrt {1 – m} ) + 3m} \right]$ $ + \frac{2}{3} – m$ $ = \frac{2}{3}(1 – \sqrt {1 – m} )(2m – 1 + \sqrt {1 – m} )$ $ + \frac{2}{3} – m.$
+ Khi $m \le 0$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(0) = m \le 0}\\
{f(1) = m – 1 \le 0}
\end{array}} \right.$
Do đó ta có ${x_1} \le 0 < 1 < {x_2}$ $ \Rightarrow f(x) < 0$ $\forall x \in [0;1].$
Nên ${I_m} = \int_0^1 {\left( { – {x^2} + 2x – m} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{ – {x^3}}}{3} + {x^2} – mx} \right)} \right|_0^1$ $ = \frac{2}{3} – m.$
Ví dụ 4: Tính tích phân: $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} – x} \right|} dx.$
Ta có:
Do đó: $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} – x} \right|} dx$ $ = \int_0^1 {\left( { – {x^2} + x} \right)} dx$ $ + \int_1^2 {\left( {{x^2} – x} \right)} dx$ $ = \left. {\left( { – \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1$ $ + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2 = 1.$
Ví dụ 5: Tính tích phân: $I(\alpha ) = \int_0^1 x |x – \alpha |dx.$
+ Khi $\alpha \le 0$ thì $x – \alpha \ge 0$ $\forall x \in [0;1].$
Vậy $I(\alpha ) = \int_0^1 x |x – \alpha |dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{\alpha {x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1$ $ = \frac{1}{3} – \frac{\alpha }{2}.$
+ Khi $0 < \alpha < 1$, ta có:
Vậy $I(\alpha ) = \int_0^\alpha x |x – \alpha |dx$ $ + \int_\alpha ^1 x |x – \alpha |dx$ $ = \int_0^\alpha {\left( { – {x^2} + \alpha x} \right)} dx$ $ + \int_\alpha ^1 {\left( {{x^2} – \alpha x} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{\alpha {x^2}}}{2} – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^\alpha $ $ + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{\alpha {x^2}}}{2}} \right)} \right|_\alpha ^1$ $ = \frac{{{\alpha ^3}}}{3} – \frac{\alpha }{2} + \frac{1}{3}.$
+ Khi $\alpha \ge 1$ thì $x – \alpha \le 0$ $\forall x \in [0;1].$
Vậy $I(\alpha ) = \int_0^1 {\left( { – {x^2} + \alpha x} \right)} dx$ $ = \left. {\left( { – \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{\alpha {x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1$ $ = \frac{\alpha }{2} – \frac{1}{3}.$
Ví dụ 6: Cho $f(x) = 3{x^3} – {x^2} – 4x + 1$ và $g(x) = 2{x^3} + {x^2} – 3x – 1.$
a) Giải bất phương trình $f(x) \ge g(x).$
b) Tính $I = \int_{ – 1}^2 | f(x) – g(x)|dx.$
a) Ta có: $f(x) \ge g(x)$ $ \Leftrightarrow f(x) – g(x) \ge 0$ $ \Leftrightarrow {x^3} – 2x – x + 2 \ge 0$ $ \Leftrightarrow (x – 1)\left( {{x^2} – x – 2} \right) \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 1} \right)(x – 2) \ge 0$ $ \Leftrightarrow – 1 \le x \le 1$ hoặc $x \ge 2.$
b) Ta có: (dựa vào câu a, ta xác định được $f(x) – g(x)$ âm, dương khi nào).
Vậy $I = \int_{ – 1}^2 | f(x) – g(x)|dx$ $ = \int_{ – 1}^1 | f(x) – g(x)|dx$ $ + \int_1^2 | f(x) – g(x)|dx$ $ = \int\limits_{ – 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]dx} $ $ – \int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]dx} $ $ = \int_{ – 1}^1 {\left( {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right)} dx$ $ – \int_1^2 {\left( {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right)} dx$ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{2{x^2}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_{ – 1}^1$ $ – \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{2{x^2}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{{37}}{{12}}.$
Ví dụ 7: Tính tích phân: $I = \int_{ – \pi }^\pi {\sqrt {1 – \sin x} } dx.$
Ta có: $I = \int_{ – \pi }^\pi {\sqrt {{{\left( {\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} } dx$ $ = \int_{ – \pi }^\pi {\left| {\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2}} \right|} dx$ $ = \sqrt 2 \int_{ – \pi }^\pi {\left| {\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|} dx.$
Đổi biến: đặt $t = \frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{2}.$
Đổi cận: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \pi }\\
{x = – \pi }
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \frac{{3\pi }}{4}}\\
{t = – \frac{\pi }{4}}
\end{array}} \right.$
Ta thấy: với $ – \frac{\pi }{4} \le t \le \frac{\pi }{2}$ thì $\cos t \ge 0$, với $\frac{\pi }{2} \le t \le \frac{{3\pi }}{4}$ thì $\cos t < 0.$
Suy ra: $I = 2\sqrt 2 \int_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} | \cos t|dt$ $ = 2\sqrt 2 \int_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos } tdt – 2\sqrt 2 \int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} { \cos tdt } $ $ = 2\sqrt 2 \sin \left. t \right|_{ – \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} – 2\sqrt 2 \sin \left. t \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = 4\sqrt 2 .$
Ví dụ 8: Tính tích phân: $I = \int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} | \sin x|dx.$
Ta có: $I = \int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} | \sin x|dx$ $ = \int_{ – \frac{\pi }{2}}^0 {( – \sin x)} dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } xdx$ $ = \cos \left. x \right|_{ – \frac{\pi }{2}}^0 + \left. {( – \cos x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $ = 1 + 1 = 2.$
Ví dụ 9: Tính $I = \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} | \sin 2x|dx.$
Đặt $t = 2x \Rightarrow dt = 2dx.$
Đổi cận $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{3\pi }}{4}}\\
{x = \frac{\pi }{4}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \frac{{3\pi }}{2}}\\
{t = \frac{\pi }{2}}
\end{array}} \right.$
Do đó: $I = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} | \sin t|dt$ $ = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{2}}^\pi | \sin t|dt + \frac{1}{2}\int_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} | \sin t|dt$ $ = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\sin t} dt – \frac{1}{2}\int_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} {\sin } tdt$ (vì $\frac{\pi }{2} \le t \le \pi $ thì $\sin t \ge 0$, $\frac{\pi }{2} \le t \le \frac{{3\pi }}{2}$ thì $\sin t \le 0$).
$I = – \frac{1}{2}\cos \left. t \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi + \frac{1}{2}\cos \left. t \right|_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} = 1.$
Ví dụ 10: Tính tích phân: $I = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x – 2} } dx.$
Ta có: $\sqrt {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x – 2} $ $ = \sqrt {{{(\tan x + \cot x)}^2}} $ $ = |\tan x – \cot x|$ $ = \left| {\frac{{\sin x}}{{\cos x}} – \frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right|$ $ = \left| {\frac{{{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}}} \right|$ $ = \left| {\frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\sin x\cos x}}} \right|$ $ = 2\left| {\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}} \right|.$
Ta có: $\frac{\pi }{6} \le x \le \frac{\pi }{3}$ $ \Rightarrow \frac{\pi }{3} \le 2x \le \frac{{2\pi }}{3}.$
Do đó: $\sin 2x \ge 0$, $\left\{ \begin{array}{l}
\cos 2x \le 0\:{\rm{khi}}\:x \in \left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3}} \right]\\
\cos 2x \ge 0\:{\rm{khi}}\:x \in \left[ {\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{4}} \right]
\end{array} \right.$
Vậy $I = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} 2 \left| {\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}} \right|dx$ $ + \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} 2 \left| {\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}} \right|dx$ $ = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} 2 \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}dx – \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} 2 \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}dx$ $ = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} 2 \frac{{d(\sin 2x)}}{{\sin 2x}} – \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} 2 \frac{{d(\sin 2x)}}{{\sin 2x}}$ $ = \ln \left. {|\sin 2x|} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} – \left. {\ln |\sin 2x|} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}$ $ = \left( {\ln 1 – \ln \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) – \left( {\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \ln 1} \right)$ $ = – 2\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Ví dụ 11: Tính tích phân: $I = \int_0^\pi {\sqrt {1 + \cos 2x} } dx.$
Ta có: $I = \int_0^\pi {\sqrt {1 + \cos 2x} } dx$ $ = \int_0^\pi {\sqrt {2{{\cos }^2}x} } dx$ $ = \int_0^\pi {\sqrt 2 } |\cos x|dx$ $ = \sqrt 2 \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx – \sqrt 2 \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos } xdx$ $ = \sqrt 2 \sin \left. x \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – \sqrt 2 \sin \left. x \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi $ $ = 2\sqrt 2 .$
Ví dụ 12: Tính tích phân: $I = \int_0^\pi | \cos x|\sqrt {\sin x} dx.$
Ta có: $I = \int_0^\pi | \cos x|\sqrt {\sin x} dx$ $ + \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi | \cos x|\sqrt {\sin x} dx$ $ = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } x.{(\sin x)^{\frac{1}{2}}}dx$ $ – \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos } x.{(\sin x)^{\frac{1}{2}}}dx$ $ = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{(\sin x)}^{\frac{1}{2}}}} d(\sin x)$ $ – \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{(\sin x)}^{\frac{1}{2}}}} d(\sin x)$ $ = \frac{2}{3}\left. {{{(\sin x)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – \frac{2}{3}\left. {{{(\sin x)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi $ $ = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.$
Ví dụ 13: Tính tích phân: $I = \int_{ – 1}^1 {\frac{{|x|dx}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}} .$
Vì hàm số $f(x) = \frac{{|x|}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}$ là hàm số chẵn, liên tục trong $[ – 1;1].$
Suy ra: $I = \int_{ – 1}^1 {\frac{{|x|dx}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}} $ $ = 2\int_0^1 {\frac{{|x|dx}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}} $ $ = 2\int_0^1 {\frac{{xdx}}{{{x^4} – {x^2} – 12}}} .$
Đặt $t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx.$
Đổi cận $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{x = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\\
{t = 0}
\end{array}} \right.$
Vậy $I = \int_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} – t – 12}}} $ $ = \int_0^1 {\frac{{dt}}{{(t – 4)(t + 3)}}} $ $ = \frac{1}{7}\int_0^1 {\left( {\frac{1}{{t – 4}} – \frac{1}{{t + 3}}} \right)} dt$ $ = \frac{1}{7}\ln \left. {\left| {\frac{{t – 4}}{{t + 3}}} \right|} \right|_0^1$ $ = \frac{2}{7}\ln \frac{3}{4}.$
hướng dẫn tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối đã chính thức diễn ra. Môn Toán là một trong những môn thi quan trọng, đánh giá năng lực toán học của các học sinh trước khi bước vào giai đoạn tiếp theo của hành trình học tập.
Trang web MonToan.vn đã nhanh chóng cập nhật và chia sẻ đề thi chính thức môn Toán trong chuỗi TIPS Giải Toán 12. Không chỉ cung cấp đề thi, MonToan.vn còn đưa ra đáp án và lời giải chi tiết hướng dẫn tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối, giúp các thầy cô giáo, các em học sinh và các bạn học sinh có thể dễ dàng kiểm tra kết quả và phân tích cách giải.
Việc chia sẻ đề thi chính thức và lời giải chi tiết hướng dẫn tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối giúp các thầy cô giáo có thêm tài liệu tham khảo để giảng dạy, giúp các em học sinh có thể tự đánh giá năng lực của bản thân và tìm ra những điểm cần cải thiện. Đồng thời, việc này cũng giúp các bạn học sinh lớp dưới có thể tham khảo để chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT trong tương lai.