giới hạn của dãy số

Bài viết trình bày định nghĩa, định lý, các quy tắc và phương pháp tìm giới hạn của dãy số cùng các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải.

A. LÝ THUYẾT CẦN NẮM

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

a. Định nghĩa:

• $\lim {u_n} = 0$ $ \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists {n_0} \in N^*$: $\left| {{u_n}} \right| < \varepsilon $, $\forall n > {n_0}.$

• $\lim {u_n} = a$ $ \Leftrightarrow \lim \left( {{u_n} – a} \right) = 0.$

b. Một số giới hạn hữu hạn thường gặp:

• $\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0$ với mọi $k \in N^* .$

• Nếu $\left| q \right| < 1$ thì $\lim {q^n} = 0.$

• Nếu ${u_n} = c$ (với $c$ là hằng số) thì $\lim {u_n}$ $ = \lim c = c.$

2. Một số định lí về giới hạn của dãy số

• Nếu dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa $\left| {{u_n}} \right| < {v_n}$ kể từ số hạng nào đó trở đi và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0.$

• Cho $\lim {u_n} = a$, $\lim {v_n} = b$. Ta có:

$\lim ({u_n} + {v_n}) = a + b.$

$\lim ({u_n} – {v_n}) = a – b.$

$\lim ({u_n}.{v_n}) = a.b$

$\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}$ $(b \ne 0).$

Nếu ${u_n} \ge 0$, $\forall n$ thì $\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a .$

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân $({u_n})$ có công bội $q$ thỏa $\left| q \right| < 1.$ Khi đó tổng $S = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} + …$ $ = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}.$

4. Giới hạn vô cực

a. Định nghĩa:

• $\lim {u_n} = + \infty $ $ \Leftrightarrow \forall M > 0$, $\exists {n_0} \in {N^*}$: ${u_n} > M$, $\forall n > {n_0}.$

• $\lim {u_n} = – \infty $ $ \Leftrightarrow \lim \left( { – {u_n}} \right) = + \infty .$

b. Một số giới hạn vô cực thường gặp:

• $\lim {n^k} = + \infty $ với mọi $k > 0.$

• $\lim {q^n} = + \infty $ với mọi $q > 1.$

c. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực:

Quy tắc 1: Nếu $\lim {u_n} = \pm \infty $, $\lim {v_n} = \pm \infty $ thì $\lim ({u_n}.{v_n})$ được tính như sau:

Quy tắc 2: Nếu $\lim {u_n} = \pm \infty $, $\lim {v_n} = L ≠ 0$ thì $\lim ({u_n}.{v_n})$ được tính như sau:

Quy tắc 3: Nếu $\lim {u_n} = L ≠ 0$, $\lim {v_n} = 0$ và ${v_n} > 0$ hoặc ${v_n} < 0$ kể từ một số hạng nào đó trở đi thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$ được tính như sau:

B. PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Dạng toán 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa.

Phương pháp:

• Để chứng minh $\lim {u_n} = 0$ ta chứng minh với mọi số $a > 0$ nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số ${n_a}$ sao cho $\left| {{u_n}} \right| < a$, $\forall n > {n_a}.$

• Để chứng minh $\lim {u_n} = L$ ta chứng minh $\lim ({u_n} – L) = 0.$

• Để chứng minh $\lim {u_n} = + \infty $ ta chứng minh với mọi số $M > 0$ lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên ${n_M}$ sao cho ${u_n} > M$, $\forall n > {n_M}.$

• Để chứng minh $\lim {u_n} = – \infty $ ta chứng minh $\lim ( – {u_n}) = + \infty .$

• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

1. $\lim \frac{{n + 2}}{{n + 1}} = 1.$

2. $\lim \frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2}.$

3. $\lim \frac{{1 – 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} = – 2.$

1. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > \frac{1}{a} – 1$, ta có:

$\left| {\frac{{n + 2}}{{n + 1}} – 1} \right|$ $ = \frac{1}{{n + 1}} < \frac{1}{{{n_a} + 1}} < a$ với $\forall n > {n_a}.$

Suy ra $\lim \left| {\frac{{n + 2}}{{n + 1}} – 1} \right| = 0$ $ \Rightarrow \lim \frac{{n + 2}}{{n + 1}} = 1.$

2. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > \sqrt {\frac{3}{a} – 1} $, ta có:

$\left| {\frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} – \frac{1}{2}} \right|$ $ = \frac{3}{{{n^2} + 1}}$ $ < \frac{3}{{n_a^2 + 1}} < a$ với $\forall n > {n_a}.$

Suy ra $\lim \left| {\frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} – \frac{1}{2}} \right| = 0$ $ \Rightarrow \lim \frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2}.$

3. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > \sqrt {\frac{9}{{{a^2}}} – 1} $, ta có:

$\left| {\frac{{1 – 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} + 2} \right|$ $ = \left| {\frac{{1 – 2n + 2\sqrt {{n^2} + 1} }}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}} \right|$ $ < \left| {\frac{{1 – 2n + 2(n + 1)}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}} \right|$ $ = \frac{3}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}$ $ < \frac{3}{{\sqrt {n_a^2 + 1} }} < a$ với $\forall n > {n_a}.$

Suy ra $\lim \left| {\frac{{1 – 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} + 2} \right| = 0$ $ \Rightarrow \lim \frac{{1 – 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }} = – 2.$

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số $({u_n}):{u_n} = {( – 1)^n}$ không có giới hạn.

Ta có: ${u_{2n}} = 1$ $ \Rightarrow \lim {u_{2n}} = 1$; ${u_{2n + 1}} = – 1$ $ \Rightarrow \lim {u_{2n + 1}} = – 1.$

Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy $\left( {{u_n}} \right)$ không có giới hạn.

Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau:

1. $\lim \frac{{{n^2} + 1}}{n} = + \infty .$

2. $\lim \frac{{2 – n}}{{\sqrt n }} = – \infty .$

1. Với mọi số thực dương $M$ lớn tùy ý, ta có: $\left| {\frac{{{n^2} + 1}}{n}} \right| > M$ $ \Leftrightarrow {n^2} – Mn + 1 > 0$ $ \Leftrightarrow n > \frac{{M + \sqrt {{M^2} – 4} }}{2}.$

Ta chọn ${n_0} = \left[ {\frac{{M + \sqrt {{M^2} – 4} }}{2}} \right]$ thì ta có: $\frac{{{n^2} + 1}}{n} > M$, $\forall n > {n_0}.$

Do đó: $\lim \frac{{{n^2} + 1}}{n} = + \infty .$

2. Với mọi $M > 0$ lớn tùy ý, ta có: $\frac{{n – 2}}{{\sqrt n }} > M$ $ \Leftrightarrow n – M\sqrt n – 2 > 0$ $ \Leftrightarrow n > {\left( {\frac{{M + \sqrt {{M^2} + 8} }}{2}} \right)^2}.$

Ta chọn ${n_0} = \left[ {{{\left( {\frac{{M + \sqrt {{M^2} + 8} }}{2}} \right)}^2}} \right]$ thì ta có: $\frac{{n – 2}}{{\sqrt n }} > M$, $\forall n > {n_0}.$

Do đó: $\lim \frac{{2 – n}}{{\sqrt n }} = – \infty .$

Dạng toán 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản.

Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

• Khi tìm $\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}$ ta thường chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, trong đó $k$ là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

• Khi tìm $\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} – \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]$ trong đó $\lim f(n) = \lim g(n) = + \infty $ ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.

Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau:

1. $A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} – n + 2}}.$

2. $B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}.$

3. $C = \lim \frac{{{{\left( {2{n^2} + 1} \right)}^4}{{\left( {n + 2} \right)}^9}}}{{{n^{17}} + 1}}.$

4. $D = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1} – \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} – n}}.$

1. Ta có: $A = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 – \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}.$

2. Ta có: $B = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}}$ $ = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 – \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}$ $ = \frac{1}{{1 – \sqrt 3 }}.$

3. Ta có: $C = $ $\lim \frac{{{n^8}{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{n^9}{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{{n^{17}}(1 + \frac{1}{{{n^{17}}}})}}$ $ = \lim \frac{{{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{1 + \frac{1}{{{n^{17}}}}}}$ $ = 16.$

4. Ta có: $D = $ $\lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} – \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} – 1} \right)}}$ $ = \frac{{1 – \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} – 1}}.$

Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau:

1. $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} – n} \right).$

2. $B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} – n} \right).$

1. Ta có: $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} – n} \right)$ $ = \lim \frac{{{n^2} + 6n – {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}}$ $ = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}}$ $ = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + 1}}$ $ = 3.$

2. Ta có: $B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} – n} \right)$ $ = \lim \frac{{9{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}$ $ = \lim \frac{9}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{9}{n}} \right)}^2}}} + \sqrt {1 + \frac{9}{n}} + 1}}$ $ = 3.$

Ví dụ 6. Tìm các giới hạn sau:

1. $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 2} + n} \right).$

2. $B = \lim \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} – n} \right).$

1. Ta có: $A = \lim n\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right).$

Vì: $\lim n = + \infty $ và $\lim \left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right) = 2 > 0.$

Nên $A = + \infty .$

2. Ta có: $B = \lim n\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{n}} – 1} \right).$

Vì: $\lim n = + \infty $ và $\lim \left( {\sqrt {2 + \frac{1}{n}} – 1} \right)$ $ = \sqrt 2 – 1 > 0.$

Nên $B = + \infty .$

Ví dụ 7. Tìm các giới hạn sau:

1. $A = $ $\lim \frac{{n\sqrt {1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)} }}{{2{n^2} + 1}}.$

2. $B = $ $\lim \frac{{\sqrt {1 + 2 + … + n} – n}}{{\sqrt[3]{{{1^2} + {2^2} + … + {n^2}}} + 2n}}.$

1. Ta có: $1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = {n^2}.$

Suy ra $A = \lim \frac{{{n^2}}}{{2{n^2} + 1}}$ $ = \lim \frac{1}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}}$ $ = \frac{1}{2}.$

2. Ta có:

$1 + 2 + … + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}.$

${1^2} + {2^2} + … + {n^2}$ $ = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}.$

Suy ra: $B = $ $\lim \frac{{\sqrt {\frac{{n(n + 1)}}{2}} – n}}{{\sqrt[3]{{\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}}} + 2n}}$ $ = \lim \frac{{\sqrt {\frac{{{n^2}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}}{2}} – n}}{{\sqrt[3]{{\frac{{{n^3}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}}{6}}} + 2n}}$ $ = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}} – 1}}{{\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}} + 2}}.$

Ví dụ 8. Tìm các giới hạn sau:

1. $C = $ $\lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right].$

2. $D = $ $\lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{n(n + 1)}}} \right].$

1. Ta có: $1 – \frac{1}{{{k^2}}}$ $ = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}$ nên suy ra:

$\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$ $ = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}…\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}}$ $ = \frac{{n + 1}}{{2n}}.$

Do vậy $C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}.$

2. Ta có: $\frac{1}{{k(k + 1)}}$ $ = \frac{1}{k} – \frac{1}{{k + 1}}$ nên suy ra $\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{n(n + 1)}}$ $ = 1 – \frac{1}{{n + 1}}.$

Vậy $D = \lim \left( {1 – \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1.$

Ví dụ 9. Tìm các giới hạn sau:

1. $A = \lim \frac{{{4^{n + 1}} – {5^{n + 1}}}}{{{4^n} + {5^n}}}.$

2. $B = \lim \frac{{{{4.3}^{n + 2}} – {{2.7}^{n – 1}}}}{{{4^n} + {7^{n + 1}}}}.$

1. Chia cả tử và mẫu cho ${5^n}$ ta có: $A = \lim \frac{{4{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} – 5}}{{{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} + 1}} = – 5$ (do $\lim {\left( {\frac{4}{5}} \right)^n} = 0$).

2. Ta có: $B = $ $\lim \frac{{36{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n} – \frac{2}{7}}}{{{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n} + 7}}$ $ = – \frac{2}{{49}}.$

Ví dụ 10. Tìm  giới hạn sau: $C = $ $\lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right].$

Ta có: $1 – \frac{1}{{{k^2}}}$ $ = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}$ nên suy ra: $\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$ $ = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}…\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}}$ $ = \frac{{n + 1}}{{2n}}.$

Do vậy $C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}.$