tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số và Giải tích 11.

I. PHƯƠNG PHÁP

Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.

II. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa:

1. $A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {3{x^2} + x + 1} \right).$

2. $B = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} – 1}}{{x – 1}}.$

3. $C = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} – 2}}{{x – 2}}.$

4. $D = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x + 2}}{{x – 1}}.$

Lời giải:

1. Với mọi dãy $\left( {{x_n}} \right)$ mà $\lim {x_n} = 1$ ta có: $A = \lim \left( {3x_n^2 + {x_n} + 1} \right)$ $ = 3 + 1 + 1 = 5.$

2. Với mọi dãy $\left( {{x_n}} \right)$ mà $\lim {x_n} = 1$ và ${x_n} \ne 1$, $\forall n$ ta có:

$B = \lim \frac{{\left( {{x_n} – 1} \right)\left( {x_n^2 + {x_n} + 1} \right)}}{{{x_n} – 1}}$ $ = \lim \left( {x_n^2 + {x_n} + 1} \right) = 3.$

3. Với mọi dãy $\left( {{x_n}} \right)$ mà $\lim {x_n} = 2$ và ${x_n} \ne 2$, $\forall n$ ta có:

$B = \lim \frac{{\sqrt {{x_n} + 2} – 2}}{{{x_n} – 2}}$ $ = \lim \frac{{\left( {{x_n} – 2} \right)}}{{\left( {{x_n} – 2} \right)(\sqrt {{x_n} + 2} + 2)}}$ $ = \lim \frac{1}{{\sqrt {{x_n} + 2} + 2}}$ $ = \frac{1}{4}.$

4. Với mọi dãy $\left( {{x_n}} \right)$ mà $\lim {x_n} = + \infty $ ta có:

$D = \lim \frac{{3{x_n} + 2}}{{{x_n} – 1}}$ $ = \lim \frac{{3 + \frac{2}{{{x_n}}}}}{{1 – \frac{1}{{{x_n}}}}} = 3.$

Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số sau không có giới hạn:

1. $f(x) = \sin \frac{1}{{\sqrt x }}$ khi $x \to 0.$

2. $f(x) = {\cos ^5}2x$ khi $x \to – \infty .$

Lời giải:

1. Xét hai dãy $\left( {{x_n}} \right):$ ${x_n} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{\pi }{2} + n2\pi } \right)}^2}}}$, $\left( {{y_n}} \right):$ ${y_n} = \frac{1}{{{{(n\pi )}^2}}}.$

Ta có: $\lim {x_n} = \lim {y_n} = 0$ và $\lim f\left( {{x_n}} \right) = 1$; $\lim f\left( {{y_n}} \right) = 0.$

Nên hàm số không có giới hạn khi $x \to 0.$

2. Tương tự ý 1 xét hai dãy: ${x_n} = n\pi $; ${y_n} = \frac{\pi }{4} + n\pi .$

Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} |f(x)| = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = 0.$

Lời giải:

Với mọi dãy $\left( {{x_n}} \right):$ $\lim {x_n} = {x_0}$ ta có: $\lim \left| {f\left( {{x_n}} \right)} \right| = 0$ $ \Rightarrow \lim f\left( {{x_n}} \right) = 0.$

$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = 0.$

III. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1. Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa:

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{x – 2}}.$

2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3x + 2}}{{2x – 1}}.$

3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{{2x}}.$

4. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x – 3}}{{x – 1}}.$

Lời giải:

1. Với mọi dãy $\left( {{x_n}} \right):$ $\lim {x_n} = 1$ ta có: $\lim \frac{{{x_n} + 1}}{{{x_n} – 2}} = – 2.$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{x – 2}} = – 2.$

2. Với mọi dãy $\left( {{x_n}} \right):$ $\lim {x_n} = 1$ ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3x + 2}}{{2x – 1}}$ $ = \lim \frac{{3{x_n} + 2}}{{2{x_n} – 1}}$ $ = \frac{{3.1 + 2}}{{2.1 – 1}} = 5.$

3. Với mọi dãy $\left( {{x_n}} \right):$ $\lim {x_n} = 0$ ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 4} – 2}}{{2x}}$ $ = \lim \frac{{\sqrt {{x_n} + 4} – 2}}{{2{x_n}}}$ $ = \lim \frac{{{x_n}}}{{2{x_n}(\sqrt {{x_n} + 4} + 2)}}$ $ = \lim \frac{1}{{2(\sqrt {{x_n} + 4} + 2)}} = \frac{1}{8}.$

4. Với mọi dãy $\left( {{x_n}} \right):$ ${x_n} > 1$, $\forall n$ và $\lim {x_n} = 1$ ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x – 3}}{{x – 1}}$ $ = \lim \frac{{4{x_n} – 3}}{{{x_n} – 1}} = + \infty .$

Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau không có giới hạn:

1. $f(x) = \sin \frac{1}{x}$ khi $x \to 0.$

2. $f(x) = \cos x$ khi $x \to + \infty .$

Lời giải:

1. Xét hai dãy số ${x_n} = \frac{1}{{\pi + 2n\pi }}$; ${y_n} = \frac{1}{{\frac{\pi }{2} + 2n\pi }}$ $ \Rightarrow \lim {x_n} = \lim {y_n} = 0.$

Mà: $\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim [\sin (\pi + 2n\pi )] = 0.$

$\lim f\left( {{y_n}} \right) = \lim \left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2n\pi } \right)} \right] = 1.$

Suy ra $\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {{y_n}} \right).$

Vậy hàm số $f$ không có giới hạn khi $x \to 0.$

2. Xét hai dãy ${x_n} = 2n\pi $; ${y_n} = \frac{\pi }{2} + n\pi $ $ \Rightarrow \lim {x_n} = \lim {y_n} = + \infty .$

Mà: $\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim [\cos (2n\pi )] = 1.$

$\lim f\left( {{y_n}} \right) = \lim \left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{2} + n\pi } \right)} \right] = 0.$

Suy ra $\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {{y_n}} \right).$

Vậy hàm số $f$ không có giới hạn khi $x \to + \infty .$

Bài 3. Chứng minh rằng các hàm số sau không có giới hạn:

$f(x) = \cos \frac{1}{{{x^2}}}$ khi $x \to 0.$

Lời giải:

Xét hai dãy $\left( {{x_n}} \right)$; $\left( {{y_n}} \right)$ xác định bởi ${x_n} = \sqrt {\frac{1}{{2n\pi }}} $; ${y_n} = \sqrt {\frac{1}{{\frac{\pi }{2} + n\pi }}} .$

Ta có: $\lim {x_n} = \lim {y_n} = 0.$

Nhưng: $\lim f\left( {{x_n}} \right) = 1$; $\lim f\left( {{y_n}} \right) = 0$ nên hàm số $f$ không có giới hạn khi $x \to 0.$