Bài viết trình bày các quy tắc tính đạo hàm, giúp việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp trở nên dễ dàng hơn bằng cách quy về tính đạo hàm của các hàm số đơn giản.
I. Kiến thức cần nắm:
1. Quy tắc tính đạo hàm:
a. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số:
• $({u_1} \pm {u_2} \pm … \pm {u_n})’$ $ = {u_1}’ \pm {u_2}’ \pm … \pm {u_n}’.$
• $(k.u(x))’ = k.u'(x).$
• $(uv)’ = u’v + uv’.$
• $(uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’.$
• $({u^n}(x))’ = n{u^{n – 1}}(x).u'(x).$
• $\left( {\frac{c}{{u(x)}}} \right)’ = – \frac{{c.u'(x)}}{{{u^2}(x)}}.$
• ${\left( {\frac{{u(x)}}{{v(x)}}} \right)}’$ $ = \frac{{u'(x)v(x) – v'(x)u(x)}}{{{v^2}(x)}}.$
b. Đạo hàm của hàm số hợp: Cho hàm số $y = f(u(x)) = f(u)$ với $u = u(x).$ Khi đó: $y{‘_x} = y{‘_u}.u{‘_x}.$
2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản:
| Đạo hàm | Hàm hợp |
| \[(c)’ = 0\] | |
| \[(x)’ = 1\] | |
| \[({x^\alpha })’ = \alpha {x^{\alpha – 1}}\] | \[\left( {{u^\alpha }} \right)’ = \alpha {u^{\alpha – 1}}.u’\] |
| \[\left( {\sqrt x } \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}\] | \[\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}\] |
| \[\left( {\sqrt[n]{x}} \right)’ = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n – 1}}}}}}\] | \[\left( {\sqrt[n]{u}} \right)’ = \frac{{u’}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n – 1}}}}}}\] |
| \[(\sin x)’ = \cos x\] | \[(\sin u)’ = u’.\cos u\] |
| \[(\cos x)’ = – \sin x\] | \[(\cos u)’ = – u’\sin u\] |
| \[(\tan x)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\] | \[\left( {\tan u} \right)’ = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}}\] |
| \[(\cot x)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\] | \[\left( {\cot u} \right)’ = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}\] |
II. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. $y = {x^3} – 3{x^2} + 2x + 1.$
b. $y = – {x^3} + 3x + 1.$
c. $y = \frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + 1.$
d. $y = – 2{x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + 1.$
e. $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}.$
f. $y = \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x + 1}}.$
a. $y’ = {\left( {{x^3} – 3{x^2} + 2x + 1} \right)’}$ $ = 3{x^2} – 6x + 2.$
b. $y’ = {\left( { – {x^3} + 3x + 1} \right)’}$ $ = – 3{x^2} + 3.$
c. $y’ = {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + 1} \right)’}$ $ = {x^3} – 2x.$
d. $y’ = {\left( { – 2{x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + 1} \right)’}$ $ = – 8{x^3} + 3x.$
e. $y’ = $ $\frac{{(2x + 1)'(x – 3) – (x – 3)'(2x + 1)}}{{{{(x – 3)}^2}}}$ $ = \frac{{ – 7}}{{{{(x – 3)}^2}}}.$
f. $y’ = $ $\frac{{({x^2} – 2x + 2)'(x + 1) – ({x^2} – 2x + 2)(x + 1)’}}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ = \frac{{(2x – 2)(x + 1) – ({x^2} – 2x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ = \frac{{{x^2} + 2x – 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.$
Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. $y = {\left( {{x^7} + x} \right)^2}.$
b. $y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 – 3{x^2}} \right).$
c. $y = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\left( {5x – 3} \right).$
d. $y = {\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^3}.$
e. $y = {(x + 2)^3}{(x + 3)^2}.$
a. $y’ = 2({x^7} + x)({x^7} + x)’$ $ = 2({x^7} + x)(7{x^6} + 1).$
b. Ta có: $y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 – 3{x^2}} \right)$ $ = – 3{x^4} + 2{x^2} + 5$ $ \Rightarrow y’ = – 12{x^3} + 4x.$
c. Ta có: $y = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\left( {5x – 3} \right)$ $ = 10{x^4} – {x^3} – 3{x^2}$ $ \Rightarrow y’ = 40{x^3} – 3{x^2} – 6x.$
d. $y’ = 3{\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)’$ $ = 3{\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\left( {4 – \frac{{10}}{{{x^3}}}} \right).$
e. $y’ = 3{({x^2} + 5x + 6)^2} + 2(x + 3){(x + 2)^3}.$
Ví dụ 3. Giải bất phương trình $f'(x) \ge 0$, biết:
a. $f(x) = x\sqrt {4 – {x^2}} .$
b. $f(x) = x – 2\sqrt {{x^2} + 12} .$
c. $f(x) = \sqrt[4]{{{x^2} + 1}} – \sqrt x .$
a. Tập xác định: $D = \left[ { – 2;2} \right].$
Ta có: $f'(x) = \sqrt {4 – {x^2}} – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{4 – 2{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}.$
Do đó: $f'(x) \ge 0$ $ \Leftrightarrow 4 – 2{x^2} \ge 0$ $ \Leftrightarrow – \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 .$
b. Tập xác định: $D = R.$
Ta có: $f'(x) = 1 – \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 12} }}$ $ = \frac{{\sqrt {{x^2} + 12} – 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 12} }}.$
Suy ra: $f'(x) \ge 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 12} \ge 2x$ $(1).$
• Với $x < 0$ thì $(1)$ luôn đúng.
• Với $x \ge 0$ thì $(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{x^2} + 12 \ge 4{x^2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.$
Vậy bất phương trình $f'(x) \ge 0$ có nghiệm khi và chỉ khi $x \le 2.$
c. Tập xác định: $D = \left[ {0; + \infty } \right).$
Ta có: $f'(x) = \frac{x}{{2\sqrt[4]{{{{({x^2} + 1)}^3}}}}} – \frac{1}{{2\sqrt x }}.$
$f'(x) \ge 0$ $ \Leftrightarrow x\sqrt x \ge \sqrt[4]{{{{({x^2} + 1)}^3}}}$ $ \Leftrightarrow {x^6} \ge {({x^2} + 1)^3}$ $ \Leftrightarrow {x^2} \ge {x^2} + 1$, bất phương trình này vô nghiệm.
[ads]
Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. $y = \sqrt {2{x^2} + 3x + 1} .$
b. $y = \sqrt[5]{{\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2}}.$
c. $y = \sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } .$
d. $y = \tan ({\sin ^2}3x) + \sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} .$
e. $y = \sqrt[3]{{\sin (\tan x) + \cos (\cot x)}}.$
a. $y’ = \frac{{(2{x^2} + 3x + 1)’}}{{2\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} }}$ $ = \frac{{4x + 3}}{{2\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} }}.$
b. $y’ = \frac{1}{{5.\sqrt[5]{{{{(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)}^4}}}}}$$(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)’$ $ = \frac{1}{{5.\sqrt[5]{{{{(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)}^4}}}}}$$(\frac{{2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} + 3).$
c. $y’ = \frac{{(2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x )’}}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } }}$ $ = \frac{{2\sin (4x – 2) – \frac{1}{{2\sqrt x }}\sin \sqrt x }}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } }}$ $ = \frac{{4\sqrt x \sin (4x – 2) – \sin \sqrt x }}{{4\sqrt {2x{{\sin }^2}(2x – 1) + x\cos \sqrt x } }}.$
d. $y’ = [1 + {\tan ^2}({\sin ^2}3x)]({\sin ^2}3x)’$ $ + \frac{{[{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3]’}}{{2\sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} }}$ $ = 3 [1 + {\tan ^2}({\sin ^2}3x)]\sin 6x$ $ + \frac{{6{x^2}{\rm{[}}1 + {{\cot }^2}(1 – 2{x^3}){\rm{]}}\cot (1 – 2{x^3})}}{{\sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} }}.$
e. $y’ = \frac{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]’}}{{3\sqrt {{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]}^2}} }}$ $ = \frac{{(1 + {{\tan }^2}x)\cos (\tan x) + (1 + {{\cot }^2}x)\sin (\cot x)}}{{3\sqrt {{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]}^2}} }}.$
Ví dụ 5. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 3x + 1\:khi\:x > 1\\
2x + 2\:khi\:x \le 1{\rm{ }}
\end{array} \right.$
b. $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2}\cos \frac{1}{{2x}}\:khi\:x \ne 0\\
0\:khi\:x = 0
\end{array} \right.$
a.
• Với $x > 1$ $ \Rightarrow f(x) = {x^2} – 3x + 1$ $ \Rightarrow f'(x) = 2x – 3.$
• Với $x < 1$ $ \Rightarrow f(x) = 2x + 2$ $ \Rightarrow f'(x) = 2.$
• Với $x = 1$, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} – 3x + 1} \right)$ $ = – 1 \ne f(1)$ $ \Rightarrow $ hàm số không liên tục tại $x = 1$, suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 1.$
Vậy $f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
2x – 3\:khi\:x > 1\\
2\:khi\:x < 1
\end{array} \right.$
b.
• Với $x \ne 0$ $ \Rightarrow f(x) = {x^2}\cos \frac{1}{{2x}}$ $ \Rightarrow f'(x) = 2x\cos \frac{1}{{2x}} – \frac{1}{2}\cos \frac{1}{{2x}}.$
• Với $x = 0$, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\cos \frac{1}{{2x}} = 0$ $ \Rightarrow f'(0) = 0.$
Vậy $f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\left( {2x – \frac{1}{2}} \right)\cos \frac{1}{{2x}}\:khi\:x \ne 0\\
0\:khi\:x = 0
\end{array} \right.$
Ví dụ 6. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc $x.$
a. $y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$
b. $y = {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{3} – x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$ $ + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} – x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)$ $ – 2{\sin ^2}x.$
a. Ta có: $y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x$ $ = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}$ $ + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$ $ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} = 1.$ Suy ra: $ y’ = 0.$
b. Ta có: $y = 2 + \frac{1}{2}{\rm{[}}\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} – 2x} \right) + \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)$ $ + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} – 2x} \right) + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)]$ $ – 2{\sin ^2}x$ $ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}( – \cos 2x – \cos 2x) – 2{\sin ^2}x = 1.$ Suy ra: $y’ = 0.$
Ví dụ 7. Tìm $a,b$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – x + 1{\rm{ }}\:khi\:x \le 1\\
– {x^2} + ax + b\:khi\:x > 1
\end{array} \right.$ có đạo hàm trên $R.$
Với $x \ne 1$ thì hàm số luôn có đạo hàm.
Do đó hàm số có đạo hàm trên $R$ khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm tại $x = 1.$
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = 1$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = a + b – 1.$
Hàm số liên tục trên $R$ $ \Leftrightarrow a + b – 1 = 1$ $ \Leftrightarrow a + b = 2.$
Khi đó:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = 1.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – {x^2} + ax + 1 – a}}{{x – 1}}$ $ = a – 2.$
Nên hàm số có đạo hàm trên $R$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 2\\
a – 2 = 1
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = – 1
\end{array} \right.$
Ví dụ 8. Tìm $m$ để các hàm số:
a. $y = (m – 1){x^3} – 3(m + 2){x^2}$ $ – 6(m + 2)x + 1$ có $y’ \ge 0$, $\forall x \in R.$
b. $y = \frac{{m{x^3}}}{3} – m{x^2} + (3m – 1)x + 1$ có $y’ \le 0$, $\forall x \in R.$
a. Ta có: $y’ = 3\left[ {(m – 1){x^2} – 2(m + 2)x – 2(m + 2)} \right].$
Do đó: $y’ \ge 0$ $ \Leftrightarrow (m – 1){x^2} – 2(m + 2)x – 2(m + 2) \ge 0$ $(1).$
• Với $m = 1$ thì $\left( 1 \right) \Leftrightarrow – 6x – 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \le – 1.$
• Với $m \ne 1$ thì $(1)$ đúng với mọi $x \in R$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = m – 1 > 0\\
\Delta ‘ \le 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
(m + 1)(4 – m) \le 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow m \ge 4.$
Vậy $m \ge 4.$
b. Ta có: $y’ = m{x^2} – 2mx + 3m – 1.$
Nên $y’ \le 0$ $ \Leftrightarrow m{x^2} – 2mx + 3m – 1 \le 0$ $(2).$
• Với $m = 0$ thì $(2)$ trở thành: $ – 1 \le 0$ (luôn đúng).
• Với $m \ne 0$ khi đó $(2)$ đúng với mọi $x \in R$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = m < 0\\
\Delta’ \le 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
m(1 – 2m) \le 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
1 – 2m \ge 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow m < 0.$
Vậy $m \le 0.$
các quy tắc tính đạo hàm đã chính thức diễn ra. Môn Toán là một trong những môn thi quan trọng, đánh giá năng lực toán học của các học sinh trước khi bước vào giai đoạn tiếp theo của hành trình học tập.
Trang web MonToan.vn đã nhanh chóng cập nhật và chia sẻ đề thi chính thức môn Toán trong chuỗi TIPS Giải Toán 11. Không chỉ cung cấp đề thi, MonToan.vn còn đưa ra đáp án và lời giải chi tiết các quy tắc tính đạo hàm, giúp các thầy cô giáo, các em học sinh và các bạn học sinh có thể dễ dàng kiểm tra kết quả và phân tích cách giải.
Việc chia sẻ đề thi chính thức và lời giải chi tiết các quy tắc tính đạo hàm giúp các thầy cô giáo có thêm tài liệu tham khảo để giảng dạy, giúp các em học sinh có thể tự đánh giá năng lực của bản thân và tìm ra những điểm cần cải thiện. Đồng thời, việc này cũng giúp các bạn học sinh lớp dưới có thể tham khảo để chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT trong tương lai.
