diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b].$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ là: $S = \int_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .$

2. Học sinh cần xem lại cách khử dấu giá trị tuyệt đối trong công thức tính diện tích hình phẳng.

3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục hoành cho bởi công thức $S = \int_\alpha ^\beta {\left| {f(x)} \right|dx} $, trong đó $\alpha $, $\beta $ lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình $f(x) = 0.$

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

Ví dụ 1: Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch chéo trong hình vẽ bên).

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $S = \int_b^a {\left| {f(x)} \right|dx} .$

B. $S = \int_a^b {f(x)dx} .$

C. $S = – \int_a^b {f(x)dx} .$

D. $S = – \int_b^a {f(x)dx} .$

Lời giải:

Từ đồ thị ta có $f(x) < 0$, $\forall x \in [a;b]$ $ \Rightarrow S = \int_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} $ $ = – \int_a^b {f(x)dx} .$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch chéo trong hình vẽ bên).

Khẳng định nào sau đây sai?

A. $S = \int_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .$

B. $S = – \int_b^a {f(x)dx} .$

C. $S = \left| {\int_b^a {f(x)dx} } \right|.$

D. $S = \int_b^a {f(x)dx} .$

Lời giải:

Từ đồ thị ta có $f(x) > 0$, $\forall x \in [a;b]$ nên:

$S = \int_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} $ $ = \left| {\int_a^b {f(x)dx} } \right|$ $ = \left| { – \int_b^a {f(x)dx} } \right|$ $ = \left| {\int_b^a {f(x)dx} } \right|.$

Suy ra các đáp án A và C đúng.

$S = \int_a^b f (x)dx$ $ = – \int_b^a f (x)dx$, suy ra đáp án B đúng và đáp án D sai.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x= a$, $x=b$ (phần gạch chéo trong hình vẽ bên).

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $S = \left| {\int_a^b f (x)dx} \right|.$

B. $S = \int_a^c f (x)dx – \int_c^d f (x)dx + \int_d^b f (x)dx.$

C. $S = \int_a^c | f(x)|dx – \int_c^d | f(x)|dx + \int_d^b | f(x)|dx.$

D. $S = \left| {\int_a^c f (x)dx} \right| – \left| {\int_c^d f (x)dx} \right| + \left| {\int_d^b f (x)dx} \right|.$

Lời giải:

Từ đồ thị ta có: $f(x) \ge 0$, $\forall x \in [a;c]$; $f(x) \le 0$, $\forall x \in [c;d]$; $f(x) \ge 0$, $\forall x \in [d;b].$

Suy ra $S = \int_a^b | f(x)|dx$ $ = \int_a^c | f(x)|dx$ $ + \int_c^d | f(x)|dx$ $ + \int_d^b | f(x)|dx.$

$ = \int_a^c f (x)dx$ $ – \int_c^d f (x)dx$ $ + \int_d^b f (x)dx.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} + 3x$, $Ox$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=2.$

A. $S = \frac{{41}}{6}.$

B. $S = \frac{{43}}{6}.$

C. $S = \frac{{47}}{6}.$

D. $S = \frac{{53}}{6}.$

Lời giải:

Cách 1:

Ta có: $S = \int_1^2 {\left| {{x^2} + 3x} \right|dx} .$

Bảng xét dấu:

Suy ra $S = \int_1^2 {\left( {{x^2} + 3x} \right)dx} $ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2$ $ = \frac{{41}}{6}.$

Chọn đáp án A.

Cách 2:

Xét phương trình ${x^2} + 3x = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0 \notin [1;2]}\\

{x = – 3 \notin [1;2]}

\end{array}} \right..$

Do đó: $S = \int_1^2 {\left| {{x^2} + 3x} \right|dx} $ $ = \left| {\int_1^2 {\left( {{x^2} + 3x} \right)dx} } \right|$ $\left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2} \right|$ $ = \frac{{41}}{6}.$

Cách 3:

Vẽ đồ thị ta được hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} + 3x$, $Ox$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$ như hình bên.

Do đó: $S = \int_1^2 {\left( {{x^2} + 3x} \right)dx} $ $ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{{41}}{6}.$

Ví dụ 5: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} – x – 2$ và trục hoành bằng $\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a \le b.$

B. $a = {b^2} + 1.$

C. $a > b + 10.$

D. $a = b + 7.$

Lời giải:

Xét phương trình ${x^2} – x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – 1}\\

{x = 2}

\end{array}} \right..$

Do đó $S = \int_{ – 1}^2 {\left| {{x^2} – x – 2} \right|dx} $ $ = \left| {\int_{ – 1}^2 {\left( {{x^2} – x – 2} \right)dx} } \right|$ $\left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} – 2x} \right)} \right|_{ – 1}^2} \right| = \frac{9}{2}.$

Suy ra $a = 9$, $b = 2$ $ \Rightarrow a = b + 7.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 6: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} – x$ và trục hoành bằng $\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $I = 2a + 5b.$

A. $I = 11.$

B. $I = 12.$

C. $I = 13.$

D. $I = 14.$

Lời giải:

Xét phương trình ${x^3} – x = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0}\\

{x = \pm 1}

\end{array}} \right..$

Do đó $S = \int_{ – 1}^1 {\left| {{x^3} – x} \right|dx} $ $ = \left| {\int_{ – 1}^0 {\left( {{x^3} – x} \right)dx} } \right|$ $ + \left| {\int_0^1 {\left( {{x^3} – x} \right)dx} } \right|.$

$ = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ – 1}^0} \right|$ $ + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1} \right|$ $ = \frac{1}{2}.$

Suy ra $a = 1$, $b = 2$ $ \Rightarrow I = 2a + 5b = 12.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 7: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2{x^2} – {x^4}$ và trục hoành bằng $\frac{a}{b}\sqrt 2 $ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $T = a – b.$

A. $T=-7.$

B. $T=1.$

C. $T=4.$

D. $T = 2.$

Lời giải:

Xét phương trình $2{x^2} – {x^4} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0}\\

{x = \pm \sqrt 2 }

\end{array}} \right..$

Do đó $S = \int_{ – \sqrt 2 }^{\sqrt 2 } {\left| {2{x^2} – {x^4}} \right|dx} $ $ = \left| {\int_{ – \sqrt 2 }^0 {\left( {2{x^2} – {x^4}} \right)dx} } \right|$ $ + \left| {\int_0^{\sqrt 2 } {\left( {2{x^2} – {x^4}} \right)dx} } \right|.$

$ = \left| {\left. {\left( {\frac{{2{x^3}}}{3} – \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_{ – \sqrt 2 }^0} \right|$ $ + \left| {\left. {\left( {\frac{{2{x^3}}}{3} – \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_0^{\sqrt 2 }} \right|$ $ = \frac{{16\sqrt 2 }}{{15}}.$

Suy ra $a = 16$, $b = 15$ $ \Rightarrow T = a – b = 1.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 8: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {e^x} – 2$, trục hoành và đường thẳng $x=1$ bằng $a.e + b + c.\ln 2$ với $a$, $b$, $c$ là các số nguyên. Tính $T = 2{a^{2018}} + b + {c^2}.$

A. $T=0.$

B. $T=1.$

C. $T=2.$

D. $T=3.$

Lời giải:

Xét phương trình ${e^x} – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \ln 2.$

Do đó $S = \int_{\ln 2}^1 {\left| {{e^x} – 2} \right|dx} $ $ = \left| {\int_{\ln 2}^1 {\left( {{e^x} – 2} \right)dx} } \right|$ $ = \left| {\left. {\left( {{e^x} – 2x} \right)} \right|_{\ln 2}^1} \right|$ $ = e – 4 + 2\ln 2.$

Suy ra $a = 1$, $b = – 4$, $c = 2$ $ \Rightarrow T = 2{a^{2018}} + b + {c^2} = 2.$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 9: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sin x + \cos x – 2$, trục hoành, trục trung và đường thẳng $x = \frac{\pi }{2}$ bằng $a + b\pi $ với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = 2a + 3b.$

A. $T=-4.$

B. $T=-1.$

C. $T=7.$

D. $T =8.$

Lời giải:

Ta có $y = \sin x + \cos x – 2 < 0$, $\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].$

Do đó $S = \int_0^{\frac{\pi }{2}} | \sin x + \cos x – 2|dx$ $ = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {(2 – \sin x – \cos )dx} .$

$ = \left. {(2x + \cos x – \sin x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $ = \pi – 2.$

Suy ra $a = – 2$, $b = 1$ $ \Rightarrow T = 2a + 3b = – 1.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 10: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x{e^x} – {e^x}$, trục hoành và trục tung bằng $a + be$ với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = 5a + b.$

A. $T = 11.$

B. $T = 7.$

C. $T=3.$

D. $T=-9.$

Lời giải:

Xét phương trình $x{e^x} – {e^x} = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1.$

Do đó $S = \int_0^1 {\left| {x{e^x} – {e^x}} \right|dx} $ $ = \left| {\int_0^1 {(x – 1){e^x}dx} } \right|.$

Sử dụng bảng:

$ \Rightarrow S = \left| {\left. {(x – 1){e^x}} \right|_0^1 – \left. {{e^x}} \right|_0^1} \right|$ $ = e – 2$ $ \Rightarrow a = – 2$, $b = 1$ $ \Rightarrow T = 5a + b = – 9.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 11: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x\ln x$, trục hoành và đường thẳng $x=2$ bằng $a + b\ln 2$ với $a$, $b$ là các số hữu tỉ. Tính $T = 2a + b.$

A. $T = \frac{7}{2}.$

B. $T = \frac{{13}}{4}.$

C. $T = \frac{{19}}{4}.$

D. $T = \frac{1}{2}.$

Lời giải:

Xét phương trình $x\ln x = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1.$

Do đó $S = \int_1^2 {|x\ln x|dx} $ $ = \left| {\int_1^2 {x\ln xdx} } \right|.$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = \ln x}\\

{dv = xdx}

\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = \frac{1}{x}dx}\\

{v = \frac{{{x^2}}}{2}}

\end{array}} \right..$

$S = \left| {\left. {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right|_1^2 – \int_1^2 {\frac{x}{2}dx} } \right|$ $ = \left| {\left. {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right|_1^2 – \left. {\frac{{{x^2}}}{4}} \right|_1^2} \right|$ $ = 2\ln 2 – \frac{3}{4}.$

Suy ra $a = – \frac{3}{4}$, $b = 2$ $ \Rightarrow T = 2a + b = \frac{1}{2}.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 12: Cho diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $x = 1$, $x = e$, $y = 0$, $y = \frac{{\ln x}}{{2\sqrt x }}$ bằng $a + b\sqrt e $ với $a$, $b$ là các số nguyên. Điểm $M(a;b)$ là đỉnh của parabol nào sau đây?

A. $y = \frac{1}{2}{x^2} – x.$

B. $y = {x^2} – 4x + 3.$

C. $y = {x^2} + x – 7.$

D. $y = – {x^2} + 2x – 1.$

Lời giải:

Ta có $y = \frac{{\ln x}}{{2\sqrt x }} \ge 0$, $\forall x \in [1;e].$

Do đó $S = \int_1^e {\left| {\frac{{\ln x}}{{2\sqrt x }}} \right|dx} $ $ = \int_1^e {\frac{{\ln x}}{{2\sqrt x }}dx} .$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = \ln x}\\

{dv = \frac{1}{{2\sqrt x }}dx}

\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = \frac{1}{x}dx}\\

{v = \sqrt x }

\end{array}} \right..$

$S = \left. {\sqrt x \ln x} \right|_1^e – \int_1^e {\frac{1}{{\sqrt x }}dx} $ $ = \left. {\sqrt x \ln x} \right|_1^e – \left. {2\sqrt x } \right|_1^e$ $ = 2 – \sqrt e .$

Suy ra $a = 2$, $b = – 1$ $ \Rightarrow M(2; – 1).$

Suy ra $M(2; – 1)$ là đỉnh của parabol $y = {x^2} – 4x + 3.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 13: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x(2 + \sin x)$, trục hoành và đường thẳng $x = \frac{\pi }{2}$ bằng $a + \frac{{{\pi ^2}}}{b}$ với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = {a^2} – 2b.$

A. $T = 14.$

B. $T = – \frac{{31}}{{16}}.$

C. $T = – 7.$

D. $T = \frac{7}{8}.$

Lời giải:

Xét phương trình $x(2 + \sin x) = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0.$

Do đó $S = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {|x(2 + \sin x)|dx} $ $ = \int_0^{\frac{\pi }{2}} x (2 + \sin x)dx$ (vì $x(2 + \sin x) \ge 0$, $\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$).

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = x}\\

{dv = (2 + \sin x)dx}

\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = dx}\\

{v = 2x – \cos x}

\end{array}} \right..$

$S = \left. {x(2x – \cos x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $ – \int_0^{\frac{\pi }{2}} {(2x – \cos x)dx} .$

$ = \left. {x(2x – \cos x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $ – \left. {\left( {{x^2} + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $ = \frac{{{\pi ^2}}}{4} + 1.$

Suy ra $a = 1$, $b = 4$ $ \Rightarrow T = {a^2} – 2b = – 7.$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 14: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 1 – \sin x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = \frac{{7\pi }}{6}$ bằng $a + \frac{{\sqrt 3 }}{b} + \frac{c}{d}\pi $ với $a$, $b$ là các số nguyên, $\frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Tính $T = a + b + c + d.$

A. $T=16.$

B. $T = 10.$

C. $T = \frac{{23}}{2}.$

D. $T = 18.$

Lời giải:

Ta có $y = 1 – \sin x \ge 0$, $\forall x \in \left[ {0;\frac{{7\pi }}{6}} \right].$

Do đó $S = \int_0^{\frac{{7\pi }}{6}} | 1 – \sin x|dx$ $ = \int_0^{\frac{{7\pi }}{6}} {(1 – \sin x)dx} $ $ = \left. {(x + \cos x)} \right|_0^{\frac{{7\pi }}{6}}$ $ = \frac{{7\pi }}{6} – \frac{{\sqrt 3 }}{2} – 1.$

Suy ra $a = – 1$, $b = – 2$, $c = 7$, $d = 6$ $ \Rightarrow T = a + b + c + d = 10.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 15: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {\tan ^2}x$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = \frac{\pi }{6}$ bằng $\frac{{\sqrt 3 }}{a} + \frac{\pi }{b}$ với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = {a^2} – b.$

A. $T=3.$

B. $T = 33.$

C. $T = 39.$

D. $T=15.$

Lời giải:

Ta có $S = \int_0^{\frac{\pi }{6}} {\left| {{{\tan }^2}x} \right|dx} $ $ = \int_0^{\frac{\pi }{6}} {{{\tan }^2}} xdx$ $ = \int_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right)dx} $ $ = \left. {(\tan x – x)} \right|_0^{\frac{\pi }{6}}$ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{3} – \frac{\pi }{6}.$

Suy ra $a = 3$, $b = – 6$ $ \Rightarrow T = {a^2} – b = 15.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 16: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x\sqrt {1 + {x^2}} $, trục hoành và đường thẳng $x = \sqrt 3 $ bằng $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Điểm $M(a;b)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. $x + y > 9.$

B. $2x + y < 15.$

C. $x + 2y < 13.$

D. $x + 5y > 25.$

Lời giải:

Xét phương trình $x\sqrt {1 + {x^2}} = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0.$

Do đó $S = \int_0^{\sqrt 3 } {|x\sqrt {1 + {x^2}} |dx} $ $ = \int_0^{\sqrt 3 } x \sqrt {1 + {x^2}} dx.$

Đặt $t = \sqrt {1 + {x^2}} $ $ \Rightarrow {t^2} = 1 + {x^2}$ $ \Rightarrow xdx = tdt.$

Đổi cận:

Suy ra $S = \int_1^2 {{t^2}} dt$ $ = \left. {\frac{{{t^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{7}{3}$ $ \Rightarrow a = 7$, $b = 3$ $ \Rightarrow M(7;3).$

Ta có $7 + 3 > 9$ suy ra điểm $M(7;3)$ thuộc miền nghiệm bất phương trình $x + y > 9.$

Chọn đáp án A.

Ví dụ 17: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} – 2x + m$ $(m \ge 1)$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = 2.$

A. $S = 2m + \frac{2}{3}.$

B. $S = 2m – \frac{2}{3}.$

C. $S = 2m – \frac{4}{3}.$

D. $S = 2m + \frac{4}{3}.$

Lời giải:

Ta có $y = {x^2} – 2x + m$ $ = {(x – 1)^2} + m – 1 \ge 0$, $\forall m \ge 1$, $\forall x \in [0;2].$

Do đó $S = \int_0^2 {\left| {{x^2} – 2x + m} \right|dx} $ $ = \int_0^2 {\left( {{x^2} – 2x + m} \right)dx} .$

$ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – {x^2} + mx} \right)} \right|_0^2$ $ = 2m – \frac{4}{3}.$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 18: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} – 9$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = m$ $(m > 3).$

A. $S = \frac{{{m^3}}}{3} – 9m.$

B. $S = \frac{{{m^3}}}{3} – 9m + 36.$

C. $S = \frac{{{m^3}}}{3} + 9m + 36.$

D. $S = \frac{{{m^3}}}{3} – 9m + 18.$

Lời giải:

Ta có: $S = \int_0^m {\left| {{x^2} – 9} \right|dx} .$

Bảng xét dấu:

Do đó $S = – \int_0^3 {\left( {{x^2} – 9} \right)dx} $ $ + \int_3^m {\left( {{x^2} – 9} \right)dx} .$

$ = – \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – 9x} \right)} \right|_0^3$ $ + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – 9x} \right)} \right|_3^m$ $ = \frac{{{m^3}}}{3} – 9m + 36.$

Chọn đáp án B.

Ví dụ 19: Cho hình thang cong $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = {e^x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \ln 4.$ Đường thẳng $x = k$ $(0 < k < \ln 4)$ chia $(H)$ thành hai phần có diện tích là ${S_1}$ và ${S_2}$ như hình vẽ bên.

Tìm $k$ để ${{S_1} = 2{S_2}.}$

A. $k = \frac{2}{3}\ln 4.$

B. $k = \ln 2.$

C. $k = \ln \frac{8}{3}.$

D. $k = \ln 3.$

Lời giải:

Từ đồ thị ta có:

${S_1} = \int_0^k {{e^x}} dx$ $ = \left. {{e^x}} \right|_0^k$ $ = {e^k} – 1.$

${S_2} = \int_k^{\ln 4} {{e^x}} dx$ $ = \left. {{e^x}} \right|_k^{\ln 4}$ $ = 4 – {e^k}.$

Khi đó ${S_1} = 2{S_2}$ $ \Rightarrow {e^k} – 1 = 8 – 2{e^k}$ $ \Leftrightarrow k = \ln 3.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 20: Cho hàm số $y = {x^4} – 3{x^2} + m$ có đồ thị $\left( {{C_m}} \right)$ với $m$ là tham số thực. Giả sử $\left( {{C_m}} \right)$ cắt trục $Ox$ tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ bên. Gọi ${S_1}$, ${S_2}$ và ${S_3}$ là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ.

Tìm $m$ để ${{S_1} + {S_2} = {S_3}.}$

A. $m = – \frac{5}{2}.$

B. $m = – \frac{5}{4}.$

C. $m = \frac{5}{2}.$

D. $m = \frac{5}{4}.$

Lời giải:

Gọi $x = a$, $x = b$ $(a < b)$ lần lượt là các nghiệm dương của phương trình x^{4}-3 x^{2}+m=0

Do đó ${b^4} – 3{b^2} + m = 0$ $(1).$

Ta có ${S_1} + {S_2} = {S_3}$, kết hợp đồ thị $ \Rightarrow \frac{1}{2}{S_3} = {S_2}.$

$\int_0^a {\left( {{x^4} – 3{x^2} + m} \right)dx} $ $ = – \int_a^b {\left( {{x^4} – 3{x^2} + m} \right)dx} .$

$ \Leftrightarrow \int_0^b {\left( {{x^4} – 3{x^2} + m} \right)dx} = 0.$

$\left. { \Leftrightarrow \left( {\frac{{{x^5}}}{5} – {x^3} + mx} \right)} \right|_0^b = 0.$

$ \Leftrightarrow \frac{{{b^5}}}{5} – {b^3} + mb = 0$ $ \Rightarrow \frac{{{b^4}}}{5} – {b^2} + m = 0$ $(2)$ (vì $b>0$).

Từ $(1)$ và $(2)$, trừ vế theo vế ta được $\frac{4}{5}{b^4} – 2{b^2} = 0$ $ \Rightarrow {b^2} = \frac{5}{2}$ (vì $b > 0$).

Thay ${b^2} = \frac{5}{2}$ vào $(1)$ ta được $m = \frac{5}{4}.$

Chọn đáp án D.

III. LUYỆN TẬP

1. ĐỀ BÀI

Câu 1: Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b].$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = f(x)$, trục hoành, các đường thẳng $x = a$, $x = b$ là:

A. $\int_b^a f (x)dx.$

B. $\int_a^b | f(x)|dx.$

C. $\int_a^b f (x)dx.$

D. $\pi \int_a^b {{f^2}} (x)dx.$

Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 4x – {x^3}$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=4$ bằng:

A. $48.$

B. $44.$

C. $40.$

D. $36.$

Câu 3: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{{ – 3x – 1}}{{x – 1}}$ và hai trục tọa độ bằng $4\ln \frac{a}{b} + c$ với $a$, $b$ là các số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $c$ là số nguyên. Tính $T = a + b + c.$

A. $T=5.$

B. $T=6.$

C. $T=7.$

D. $T=8.$

Câu 4: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 1$, $x = e$ bằng $a + \frac{b}{e}$ với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = {\log _2}(14a – b).$

A. $T=1.$

B. $T=2.$

C. $T=3.$

D. $T=4.$

Câu 5: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 1 – {x^2}$, $y = 0$ bằng $\frac{a}{b}$ với $a$, $b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $T= 2a+b.$

A. $T=10.$

B. $T=11.$

C. $T=13.$

D. $T=15.$

Câu 6: Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 3{x^3} + 2x$, $y = 0$, $x = a$ $(a > 0)$ có diện tích bằng $\frac{7}{4}$ thì giá trị của $a$ bằng:

A. $1.$

B. $\frac{{\sqrt 7 }}{2}.$

C. $2.$

D. $3.$

Câu 7: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x{e^x}$, $y = 0$, $x = – 1$, $x = 2$ bằng ${e^2} + \frac{a}{e} + b$ với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = a + 2b.$

A. $T=-4.$

B. $T=-2.$

C. $T=2.$

D. $T=4.$

Câu 8: Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 0$, $y = {x^2} – 2x$, $x = – 1$, $x = 2$ có diện tích được tính theo công thức:

A. $S = \int_{ – 1}^0 {\left( {{x^2} – 2x} \right)dx} $ $ – \int_0^2 {\left( {{x^2} – 2x} \right)dx} .$

B. $S = – \int_{ – 1}^0 {\left( {{x^2} – 2x} \right)dx} $ $ + \int_0^2 {\left( {{x^2} – 2x} \right)dx} .$

C. $S = \int_{ – 1}^2 {\left( {{x^2} – 2x} \right)dx} .$

D. $S = \int_{ – 1}^0 {\left( {{x^2} – 2x} \right)dx} $ $ + \int_0^2 {\left( {{x^2} – 2x} \right)dx.} $

Câu 9: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^4} + 3{x^2} + 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 1$ bằng $\frac{a}{b}$ với $a$, $b$ là các số nguyên và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $T = 2a – b.$

A. $T = 17.$

B. $T=-1.$

C. $T=-17.$

D. $T=1.$

Câu 10: Hình vuông $OABC$ có cạnh bằng $4$ được chia thành hai phần bởi đường cong $(C)$ có phương trình $y = \frac{1}{4}{x^2}.$ Gọi ${S_1}$, ${S_2}$ là diện tích của phần không bị gạch và phần bị gạch (như hình vẽ).

Tính tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}.$

A. $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{3}{2}.$

B. $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{1}{2}.$

C. $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2.$

D. $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 1.$

2. BẢNG ĐÁP ÁN

3. HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = f(x)$, trục hoành, các đường thẳng $x=a$, $x = b$ là: $S = \int_a^b | f(x)|dx.$

Chọn đáp án B.

Câu 2: Diện tích hình phẳng:

$S = \int_0^4 {\left| {4x – {x^3}} \right|dx} $ $ = \left| {\int_0^2 {\left( {4x – {x^3}} \right)dx} } \right|$ $ + \left| {\int_2^4 {\left( {4x – {x^3}} \right)dx} } \right|$ $ = 40.$

Chọn đáp án C.

Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{{ – 3x – 1}}{{x – 1}} = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 1}}{3}.$

Diện tích hình phẳng $S = \left| {\int_{ – \frac{1}{3}}^0 {\frac{{ – 3x – 1}}{{x – 1}}dx} } \right|$ $ = \left| {\int_{ – \frac{1}{3}}^0 {\left( { – 3 – \frac{4}{{x – 1}}} \right)dx} } \right|.$

$ = \left| {\left. {( – 3x – 4\ln |x – 1|)} \right|_{ – \frac{1}{3}}^0} \right|$ $ = \left| { – 1 + 4\ln \frac{4}{3}} \right|$ $ = 4\ln \frac{4}{3} – 1.$

Suy ra $a = 4$, $b = 3$, $c = – 1$ $ \Rightarrow T = a + b + c = 6.$

Chọn đáp án B.

Câu 4: Diện tích hình phẳng:

$S = \int_1^e {\left| {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}} \right|dx} $ $ = \int_1^e {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx} .$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{u = \ln x}\\

{dv = \frac{{dx}}{{{x^2}}}}

\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{du = \frac{{dx}}{x}}\\

{v = – \frac{1}{x}}

\end{array}} \right..$

$S = – \left. {\frac{{\ln x}}{x}} \right|_1^e$ $ + \int_1^e {\frac{{dx}}{{{x^2}}}} $ $ = – \frac{1}{e} – \left. {\frac{1}{x}} \right|_1^e$ $ = 1 – \frac{2}{e}$ $ \Rightarrow a = 1$, $b = – 2$ $ \Rightarrow T = {\log _2}(14a – b) = 4.$

Chọn đáp án D.

Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm: $1 – {x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = \pm 1.$

Diện tích $S = \int_{ – 1}^1 {\left| {1 – {x^2}} \right|dx} = \frac{4}{3}$ $ \Rightarrow a = 4$, $b = 3$ $ \Rightarrow T = 2a + b = 11.$

Chọn đáp án B.

Câu 6: Phương trình hoành độ giao điểm: $3{x^3} + 2x = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0.$

Diện tích hình phẳng là $S = \left| {\int_0^a {\left( {3{x^3} + 2x} \right)dx} } \right|$ $ = \left| {\left. {\left( {\frac{{3{x^4}}}{4} + {x^2}} \right)} \right|_0^a} \right|$ $ = \frac{{3{a^4}}}{4} + {a^2}.$

$S = \frac{7}{4}$ $ \Rightarrow \frac{{3{a^4}}}{4} + {a^2} = \frac{7}{4}$ $ \Leftrightarrow {a^2} = 1$ $ \Rightarrow a = 1.$

Chọn đáp án A.

Câu 7: Diện tích $S = \int_{ – 1}^2 {\left| {x{e^x}} \right|dx} $ $ = – \int_{ – 1}^0 x {e^x}dx + \int_0^2 x {e^x}dx.$

Sử dụng bảng:

Suy ra $S = – \left. {\left( {x{e^x} – {e^x}} \right)} \right|_{ – 1}^0$ $ + \left. {\left( {x{e^x} – {e^x}} \right)} \right|_0^2$ $ = {e^2} – \frac{2}{e} + 2$ $ \Rightarrow a = – 2$, $b = 2$ $ \Rightarrow T = a + 2b = 2.$

Chọn đáp án C.

Câu 8: $S = \int_{ – 1}^2 {\left| {{x^2} – 2x} \right|dx} $ $ = \int_{ – 1}^0 {\left| {{x^2} – 2x} \right|dx} + \int_0^2 {\left| {{x^2} – 2x} \right|dx} .$

$ = \int_{ – 1}^0 {\left( {{x^2} – 2x} \right)dx} – \int_0^2 {\left( {{x^2} – 2x} \right)dx} .$

Chọn đáp án A.

Câu 9: $S = \int_0^1 {\left| {{x^4} + 3{x^2} + 1} \right|dx} = \frac{{11}}{5}$ $ \Rightarrow a = 11$, $b = 5$$ \Rightarrow S = 2a – b = 17.$

Chọn đáp án A.

Câu 10: Ta có:

${S_2} = \int_0^4 {\left( {\frac{1}{4}{x^2}} \right)dx} $ $ = \left. {\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_0^4 = \frac{{16}}{3}.$

${S_1} = {S_{OABC}} – {S_2}$ $ = 16 – \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}$ $ \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2.$

Chọn đáp án C.