bài toán tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số

montoan.vn giới thiệu bài viết hướng dẫn giải bài toán tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số trong chương trình Giải tích 12 chương 1.

A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA

I. TIỆM CẬN ĐỨNG

Đường thẳng $x = {x_0}$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f(x) = + \infty .$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = + \infty .$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f(x) = – \infty .$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = – \infty .$

II. TIỆM CẬN NGANG

Đường thẳng $y = {y_0}$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {y_0}.$

III. TIỆM CẬN XIÊN

Đường thẳng $y = ax + b$ $(a \ne 0)$ được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) – (ax + b)} \right] = 0.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f(x) – (ax + b)} \right] = 0.$

Chú ý: Để xác định các hệ số $a$, $b$ trong phương trình của tiệm cận xiên ta có thể áp dụng các công thức sau:

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x}$ $(a \ne 0)$, $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) – ax]$ hoặc $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{f(x)}}{x}$ $(a \ne 0)$, $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } [f(x) – ax].$

Nếu $a = 0$ thì ta có tiệm cận ngang.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

1. PHƯƠNG PHÁP

+ Tìm tập xác định.

+ Tìm các giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + \left( {x_0^ – } \right)} f(x)$ trong đó ${x_0}$ là các điểm đầu khoảng xác định.

+ Nếu một trong giới hạn trên bằng $ \pm \infty $ thì đường thẳng $x = {x_0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ: Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau:

a) $y = \frac{{3x – 7}}{{4x – 4}}.$

b) $y = \frac{{3x – 8}}{{{x^2} – 3x + 2}}.$

c) $y = \frac{{2x + 5}}{{\sqrt {x – 3} }}.$

d) $y = \frac{{x – 3}}{{{x^2} + 9}}.$

e) $y = \frac{{x – 2}}{{{x^2} – 3x + 2}}.$

a) Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x – 7}}{{4x – 4}} = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{3x – 7}}{{4x – 4}} = + \infty .$

Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là $x = 1.$

b) Tập xác định: $D = R\backslash \{ 1;2\} .$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{3x – 8}}{{(x – 1)(x – 2)}} = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x – 8}}{{(x – 1)(x – 2)}} = + \infty .$

$ \Rightarrow x = 1$ là một tiệm cận đứng của đồ thị.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{3x – 8}}{{(x – 1)(x – 2)}} = + \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x – 8}}{{(x – 1)(x – 2)}} = – \infty .$

$ \Rightarrow x = 1$ là một tiệm cận đứng của đồ thị.

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là $x = 1$ và $x = 2.$

c) Tập xác định: $D = (3; + \infty ).$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 5}}{{\sqrt {x – 3} }} = + \infty $ $ \Rightarrow x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chú ý: Vì tập xác định là $(3; + \infty )$ nên ta chỉ xét giới hạn khi $x \to {3^ + }.$

d) Tập xác định: $D = R.$

Vì tập xác định của hàm số là $R$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

e) Tập xác định: $D = R\backslash \{ 1;2\} .$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x – 2}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x – 1}} = + \infty .$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x – 2}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{1}{{x – 1}} = – \infty .$

Nên $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x – 2}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{x – 1}} = 1.$

Nên $x = 2$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là $x = 1.$

Vấn đề 2: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

1. PHƯƠNG PHÁP

+ Tìm tập xác định.

+ Tìm các giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty ( – \infty )} f(x).$

+ Nếu một trong giới hạn trên bằng $b$ thì đường thẳng $y = b$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

2. VÍ DỤ

Ví dụ: Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:

a) $y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{5 – 4x – {x^2}}}.$

b) $y = \frac{{\sqrt {{x^2} – 1} + 5x + 3}}{{2x + 2}}.$

a) Tập xác định: $D = R\backslash \{ 1; – 5\} .$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{5 – 4x – {x^2}}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}}{{\frac{5}{{{x^2}}} – \frac{4}{x} – 1}} = – 1.$

Suy ra đường $y = -1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: $D = ( – \infty ; – 1) \cup [1; + \infty ).$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} – 1} + 5x + 3}}{{2x + 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 – \frac{1}{{{x^2}}}} + 5 + \frac{3}{x}}}{{2 + \frac{2}{x}}} = 3.$

Suy ra đường $y = 3$ là tiệm cận ngang của đồ thị khi $x \to + \infty .$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} – 1} + 5x + 3}}{{2x + 2}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – \sqrt {1 – \frac{1}{{{x^2}}}} + 5 + \frac{3}{x}}}{{2 + \frac{2}{x}}} = 2.$

Suy ra đường $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị khi $x \to – \infty .$

Vấn đề 3: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

1. PHƯƠNG PHÁP

+ Tìm tập xác định.

+ Tìm các giới hạn:

Nếu $f(x) = ax + b + \frac{c}{{mx + n}}$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } [f(x) – (ax + b)] = 0$ nên $y = ax + b$ là tiệm cận xiên (hay ngang) của đồ thị hàm số.

+ Nếu $f(x)$ chưa viết được như trên thì ta tìm $a$, $b$ theo cách sau:

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x}$ $(a \ne 0)$, $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [f(x) – ax]$ hoặc $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{f(x)}}{x}$ $(a \ne 0)$, $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } [f(x) – ax].$

Chú ý: Nếu $a = 0$ thì ta có đường tiệm cận tìm được là tiệm cận ngang.

2. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ: Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau:

a) $y = 4x + 5 + \frac{7}{{2x – 8}}.$

b) $y = \sqrt {{x^2} – 4x} + 4x.$

a) Tập xác định: $D = R\backslash \{ 4\} .$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } [y – (4x + 5)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{7}{{2x – 8}} = 0.$

Suy ra đường thẳng $y = 4x + 5$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Tập xác định: $D = ( – \infty ;0] \cup [4; + \infty ).$

+ Khi $x \to + \infty $:

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} – 4x} + 4x}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 – \frac{4}{x}} + 4} \right) = 5.$

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y – 5x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} – 4x} – x} \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} – 4x – {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – 4x} + x}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 4}}{{\sqrt {1 – \frac{4}{x}} + 1}} = – 2.$

Vậy khi $x \to + \infty $ thì đồ thị có tiệm cận xiên là $y = 5x – 2.$

+ Khi $x \to – \infty $:

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{y}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} – 4x} + 4x}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( { – \sqrt {1 – \frac{4}{x}} + 4} \right) = 3.$

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } (y – 3x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {\sqrt {{x^2} – 4x} + x} \right)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{x^2} – 4x – {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} – 4x} – x}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 4}}{{ – \sqrt {1 – \frac{4}{x}} – 1}} = 2.$

Vậy khi $x \to – \infty $ thì đồ thị có tiệm cận xiên là $y = 3x + 2.$

C. BÀI TẬP

1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) $y = \frac{{2x + 3}}{{4 – {x^2}}}.$

b) $y = \frac{{3{x^2} + 9x – 12}}{{{x^2} + x – 2}}.$

c) $y = 2x – 5 + \frac{2}{{3 – x}}.$

d) $y = \frac{{3{x^2} + 4x – 4}}{{x – 3}}.$

2. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) $y = 2x – 4 + \sqrt {{x^2} – 4x + 3} .$

b) $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.$

3. Cho $\left( {{C_m}} \right):y = \frac{{2{x^2} + (m + 1)x – 3}}{{x + m}}.$

a) Định $m$ để tiệm cận xiên của $\left( {{{\rm{C}}_m}} \right)$ đi qua $A(1;5).$

b) Tìm $m$ để giao điểm $2$ tiệm cận của $\left( {{C_m}} \right)$ thuộc $(P):y = {x^2} – 3.$

4. Cho $(C):y = \frac{{{x^2} – 2x – 15}}{{x – 3}}.$ Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ điểm $M$ bất kỳ trên $(C)$ đến hai tiệm cận của $(C)$ bằng một hằng số.

5. Cho $\left( {{C_m}} \right):y = \frac{{{x^2} + mx – 1}}{{x – 1}}.$ Tìm $m$ sao cho tiệm cận xiên của $\left( {{C_m}} \right)$ tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng $2.$

6. Tìm những điểm trên (C): $(C):y = \frac{{2{x^2} + x – 1 + 4\sqrt 5 }}{{x + 1}}$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.