phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.

I. PHƯƠNG PHÁP

Bài toán 1: Giải phương trình: $a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ $(1).$

PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

Ta biện luận theo các bước sau:

+ Bước 1: Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $ $ \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$

Khi đó phương trình có dạng:

$at + b\frac{{{t^2} – 1}}{2} + c = 0$ $ \Leftrightarrow b{t^2} + 2at + 2c – b = 0$ $(2).$

+ Bước 2: Giải $(2)$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện $|t| \le \sqrt 2 .$

Với $t = {t_0}$, ta được:

$\sin x + \cos x = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}.$

Đây là phương trình cơ bản của sin.

Chú ý: Ta có thể giải $(1)$ bằng cách đặt ẩn phụ $z = \frac{\pi }{4} – x$, khi đó ta có:

$\sin x + \cos x$ $ = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)$ $ = \sqrt 2 \cos z.$

$\sin x\cos x$ $ = \frac{1}{2}\sin 2x$ $ = \frac{1}{2}\sin 2\left( {\frac{\pi }{4} – z} \right)$ $ = \frac{1}{2}\sin \left( {\frac{\pi }{2} – 2z} \right)$ $ = \frac{1}{2}\cos 2z$ $ = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}z – 1} \right).$

Vậy ta chuyển phương trình ban đầu về dạng phương trình bậc $2$ đối với $\cos z.$

Ví dụ 1: Giải phương trình:

$\sin x + \cos x$ $ – 2\sin x\cos x + 1 = 0.$

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$

Khi đó phương trình có dạng:

$t – \left( {{t^2} – 1} \right) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = – 1}\\

{t = 2\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = – 1$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = – 1$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\

{x = \pi + 2k\pi }

\end{array}} \right.$, $k \in Z.$

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Cách 2: Đặt $z = \frac{\pi }{4} – x$. Khi đó phương trình có dạng:

$\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right) – \sin 2x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \sin 2\left( {\frac{\pi }{4} – z} \right) + 1 = 0.$

$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \sin \left( {\frac{\pi }{2} – 2z} \right) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \cos 2z + 1 = 0.$

$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \left( {2{{\cos }^2}z – 1} \right) + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow – 2{\cos ^2}z + \sqrt 2 \cos z + 2 = 0.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\cos z = \sqrt 2 \:{\rm{(loại)}}}\\

{\cos z = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{z = – \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }\\

{z = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{\pi }{4} – x = – \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }\\

{\frac{\pi }{4} – x = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }

\end{array}} \right..$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – \frac{\pi }{2} – 2k\pi }\\

{x = \pi – 2k\pi }

\end{array}} \right.$, $k \in Z.$

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Chú ý: Tồn tại những phương trình ở dạng ban đầu chưa phải là phương trình đối xứng, khi đó cần thực hiện một vài phép biến đổi lượng giác thích hợp.

Ví dụ 2: (ĐHMĐC – 1999): Giải phương trình: $1 + \tan x = 2\sqrt 2 \sin x.$

Điều kiện: $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $, $k \in Z.$

Biến đổi phương trình về dạng:

$1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 2\sqrt 2 \sin x$ $ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 2\sqrt 2 \sin x\cos x.$

Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$

Khi đó phương trình có dạng:

$t = \sqrt 2 \left( {{t^2} – 1} \right)$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 {t^2} – t – \sqrt 2 = 0.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\\

{t = \sqrt 2 }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\sin x + \cos x = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\\

{\sin x + \cos x = \sqrt 2 }

\end{array}} \right..$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{2}}\\

{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x + \frac{\pi }{4} = – \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\

{x + \frac{\pi }{4} = \frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi }\\

{x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + 2k\pi }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – \frac{{5\pi }}{{12}} + 2k\pi }\\

{x = \frac{{11\pi }}{{12}} + 2k\pi }\\

{x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi }

\end{array}} \right.$ $(k \in Z).$

Vậy phương trình có ba họ nghiệm.

Ví dụ 3: Cho phương trình:

$m(\sin x + \cos x)$ $ + \sin 2x + m – 1 = 0$ $(1).$

a. Giải phương trình với $m = 2.$

b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.

Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$

Khi đó phương trình có dạng:

$mt + \left( {{t^2} – 1} \right) + m – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow f(t) = {t^2} + mt + m – 2 = 0$ $(2).$

a. Với $m = 2$ phương trình $(2)$ có dạng:

${t^2} + 2t = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = 0}\\

{t = – 2\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $ $(k \in Z).$

Vậy với $m = 2$ phương trình có một họ nghiệm.

b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1: Phương trình $(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow (2)$ có nghiệm thoả mãn $\left| t \right| \le \sqrt 2 .$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

(2){\rm{\:có\:1\:nghiệm\:thuộc\:}}\left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\\

(2){\rm{\:có\:2\:nghiệm\:thuộc\:}}\left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]

\end{array} \right..$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{f( – \sqrt 2 )f(\sqrt 2 ) \le 0}\\

{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta \ge 0}\\

{af(\sqrt 2 ) \ge 0}\\

{af( – \sqrt 2 ) \ge 0}\\

{ – \sqrt 2 \le \frac{S}{2} \le \sqrt 2 }

\end{array}} \right.}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

( – m\sqrt 2 + m)(m\sqrt 2 + m) \le 0\\

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{m^2} – 4m + 8 \ge 0}\\

{m\sqrt 2 + m \ge 0}\\

{ – m\sqrt 2 + m \ge 0}\\

{ – \sqrt 2 \le – \frac{m}{2} \le \sqrt 2 }

\end{array}} \right.

\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \forall m.$

Vậy với mọi $m$ phương trình luôn có nghiệm.

Cách 2: Viết lại $(2)$ dưới dạng:

$2 – {t^2} = m(t + 1)$ $ \Leftrightarrow \frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}} = m$ (vì $t = – 1$ không là nghiệm).

Phương trình $(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}}$ trên $D = ( – 1,1].$

Xét hàm số $y = \frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}}$ trên $D = ( – 1,1].$

Đạo hàm: $y’ = \frac{{ – {t^2} – 2t – 2}}{{t + 1}} < 0$, suy ra hàm số nghịch biến trên $D.$

Do đó đường thẳng $y = m$ luôn cắt đồ thị hàm số trên $D$ $ \Leftrightarrow $ với mọi $m$ phương trình luôn có nghiệm.

Bài toán 2: Giải phương trình: $a(\sin x – \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0$ $(1).$

PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

Ta biện luận theo các bước sau:

+ Bước 1: Đặt $\sin x – \cos x = t$, điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $ $ \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.$

Khi đó phương trình có dạng:

$at + b\frac{{1 – {t^2}}}{2} + c = 0$ $ \Leftrightarrow b{t^2} – 2at – 2c – b = 0$ $(2).$

+ Bước 2: Giải phương trình $(2)$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện: $|t| \le \sqrt 2 .$

Với $t = {t_0}$, ta được:

$\sin x + \cos x = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}.$

Đây là phương trình cơ bản của sin.

Chú ý: Cũng như trong bài toán 1, ta có thể giải phương trình nửa đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$ bằng cách đặt ẩn phụ $z = \frac{\pi }{4} – x.$

Ví dụ 4: Giải phương trình:

$6(\sin x – \cos x) + \sin x\cos x + 6 = 0.$

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

+ Cách 1: Đặt $\sin x – \cos x = t$, điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.$

Khi đó phương trình có dạng:

$6t – \frac{{1 – {t^2}}}{2} + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} – 12t – 13 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = – 1}\\

{t = 13\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin x – \cos x = – 1.$

$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = – 1$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\

{x = \pi + 2k\pi }

\end{array}} \right.$, $k \in Z.$

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

+ Cách 2: Đặt $z = \frac{\pi }{4} – x.$

Khi đó phương trình có dạng:

$6\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{1}{2}\sin 2x + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow 12\sqrt 2 \sin ( – z)$ $ + \sin 2\left( {\frac{\pi }{4} – z} \right) + 12 = 0.$

$ \Leftrightarrow – 12\sqrt 2 \sin z$ $ + \sin \left( {\frac{\pi }{2} – 2z} \right) + 12 = 0$ $ \Leftrightarrow – 12\sqrt 2 \sin z + \cos 2z + 12 = 0.$

$ \Leftrightarrow – 12\sqrt 2 \sin z$ $ + \left( {1 – 2{{\sin }^2}z} \right) + 12 = 0$ $ \Leftrightarrow – 2{\sin ^2}z – 12\sqrt 2 \sin z + 13 = 0.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\sin z = – \frac{{13\sqrt 2 }}{2}\:{\rm{(loại)}}}\\

{\sin z = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{z = \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\

{z = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\frac{\pi }{4} – x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\

{\frac{\pi }{4} – x = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }

\end{array}} \right..$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – 2k\pi }\\

{x = – \frac{\pi }{2} – 2k\pi }

\end{array}} \right.$, $k \in Z.$

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Ví dụ 5: Cho phương trình sau:

$4(\cos x – \sin x) + \sin 2x = m$ $(1).$

a. Giải phương trình với $m = 1.$

b. Tìm $m$ để phương trình vô nghiệm.

Biến đổi phương trình về dạng:

$4(\cos x – \sin x) + 2\sin x\cos x = m.$

Đặt $\cos x – \sin x = t$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.$

Khi đó phương trình có dạng:

$4t + 1 – {t^2} = m$ $ \Leftrightarrow – {t^2} + 4t + 1 – m = 0$ $(2).$

a. Với $m = 1$, ta được:

$ – {t^2} + 4t = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = 0}\\

{t = 4\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \cos x – \sin x = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$

Vậy phương trình có một họ nghiệm.

b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

+ Cách 1: Ta đi xét bài toán ngược “Tìm $m$ để phương trình có nghiệm”.

Phương trình $(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow (2)$ có nghiệm thoả mãn $\left| t \right| \le \sqrt 2 .$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

(2){\rm{\:có\:1\:nghiệm\:thuộc\:}}\left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\\

(2){\rm{\:có\:2\:nghiệm\:thuộc\:}}\left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]

\end{array} \right..$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

f\left( { – \sqrt 2 } \right)f\left( {\sqrt 2 } \right) \le 0\\

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta ‘ \ge 0}\\

{af\left( {\sqrt 2 } \right) \ge 0}\\

{af\left( { – \sqrt 2 } \right) \ge 0}\\

{ – \sqrt 2 \le \frac{S}{2} \le \sqrt 2 }

\end{array}} \right.

\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

( – 1 – 4\sqrt 2 – m)(1 + 4\sqrt 2 – m) \le 0\\

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{5 – m \ge 0}\\

{1 + 4\sqrt 2 – m \ge 0}\\

{ – 1 – 4\sqrt 2 – m \ge 0}\\

{ – \sqrt 2 \le 2 \le \sqrt 2 }

\end{array}} \right.

\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow |m| \le 4\sqrt 2 + 1.$

Vậy phương trình vô nghiệm khi $|m| > 4\sqrt 2 + 1.$

+ Cách 2: Viết lại $(2)$ dưới dạng:

$ – {t^2} + 4t + 1 = m.$

Vậy phương trình vô nghiệm $ \Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ không cắt phần đồ thị hàm số $y = – {t^2} + 4t + 1$ trên $\left[ { – \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right].$

Xét hàm số $y = – {t^2} + 4t + 1$ trên $\left[ { – \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right].$

Đạo hàm:

$y’ = – 2t + 4 > 0$, $\forall t \in \left[ { – \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right]$, do đó hàm số đồng biến trên $\left[ { – \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right].$

Từ đó ta được điều kiện là:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m < y( – \sqrt 2 )}\\

{m > y(\sqrt 2 )}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{m < – 4\sqrt 2 – 1}\\

{m > 4\sqrt 2 + 1}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow |m| > 4\sqrt 2 + 1.$

Vậy phương trình vô nghiệm khi $|m| > 4\sqrt 2 + 1.$

Ví dụ 6: Cho phương trình sau:

${\sin ^3}x – {\cos ^3}x = m$ $(1).$

a. Giải phương trình với $m =1.$

b. Tìm $m$ để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc $[0,\pi ].$

Biến đổi phương trình về dạng:

$(\sin x – \cos x)$ $ + 3\sin x\cos x(\sin x – \cos x) = m.$

Đặt $\sin x – \cos x = t$, điều kiện $|t| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.$

Khi đó phương trình có dạng:

${t^3} + 3t.\frac{{1 – {t^2}}}{2} = m$ $ \Leftrightarrow – {t^3} + 3t = 2m$ $(2).$

a. Với $m = 1$ ta được:

${t^3} – 3t + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow (t – 1)\left( {{t^2} + t + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow t = 1$ $ \Leftrightarrow \sin x – \cos x = 1.$

$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = 1$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\

{x = \pi + 2k\pi }

\end{array}} \right.$, $k \in Z.$

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

+ Cách 1: Với $x \in [0,\pi ]$ $ \Rightarrow t \in [ – 1,\sqrt 2 ].$

Ta có nhận xét sau:

+ Với mỗi ${t_0} \in ( – 1,1)$ hoặc ${t_0} = \sqrt 2 $ thì phương trình: $\sin x – \cos x = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}$ sẽ có đúng $1$ nghiệm $x \in [0,\pi ].$

+ Với mỗi ${t_0} \in [1,\sqrt 2 )$ thì phương trình: $\sin x – \cos x = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}$ sẽ có đúng $2$ nghiệm $x \in [0,\pi ].$

Vậy để phương trình $(1)$ có đúng ba nghiệm thuộc $[0,\pi ]$ $ \Leftrightarrow (2)$ có $2$ nghiệm ${t_1}$, ${t_2}$ thoả mãn $ – 1 < {t_1} < 1 < {t_2} < \sqrt 2 .$

Xét hàm số $y = – {t^3} + 3t$ trên $[ – 1,\sqrt 2 ].$

Đạo hàm:

$y’ = – 3{t^2} + 3.$

$y’ = 0$ $ \Leftrightarrow – 3{t^2} + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow t = \pm 1.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là:

$\sqrt 2 < 2m < 2$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} < m < 1.$

+ Cách 2: Số nghiệm thuộc $[0,\pi ]$ của phương trình $(1)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {\sin ^3}x – {\cos ^3}x$ trên $[0,\pi ]$ với đường thẳng $y = m.$

Xét hàm số $y = {\sin ^3}x – {\cos ^3}x$ trên $[0,\pi ].$

Đạo hàm:

$y’ = – 3\cos x{\sin ^2}x + 3\sin x{\cos ^2}x.$

$y’ = 0$ $ \Leftrightarrow 3\cos x{\sin ^2}x + 3\sin x{\cos ^2}x = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{3}{2}(\sin x + \cos x)\sin 2x = 0.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\sin 2x = 0}\\

{\sin x + \cos x = 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\sin 2x = 0}\\

{\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{2x = k\pi }\\

{x + \frac{\pi }{4} = k\pi }

\end{array}} \right.$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \in \left[ {0;\pi } \right]} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0}\\

{x = \frac{\pi }{2}}\\

{x = \pi }\\

{x = \frac{{3\pi }}{4}}

\end{array}} \right..$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là: $\frac{{\sqrt 2 }}{2} < m < 1.$

II. CÁC BÀI TOÁN THI

Bài 1: Giải phương trình:

$\cos x + \frac{1}{{\cos x}}$ $ + \sin x + \frac{1}{{\sin x}} = \frac{{10}}{3}.$

Điều kiện:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\sin x \ne 0}\\

{\cos x \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$

Biến đổi phương trình về dạng:

$\sin x + \cos x$ $ + \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x\cos x}} – \frac{{10}}{3} = 0.$

Đặt $\sin x + \cos x = t$, điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$

Khi đó phương trình có dạng:

$t + \frac{{2t}}{{{t^2} – 1}} – \frac{{10}}{3} = 0$ $ \Leftrightarrow 3{t^3} – 10{t^2} + 3t + 10 = 0.$

$ \Leftrightarrow (t – 2)\left( {3{t^2} – 4t – 5} \right) = 0$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left| t \right| \le \sqrt 2 } t = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{3}$ $ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{3}.$

$ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{3}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{{3\sqrt 2 }} = \sin \alpha .$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – \frac{\pi }{4} + \alpha + 2k\pi }\\

{x = \frac{{5\pi }}{4} – \alpha + 2k\pi }

\end{array}} \right.$, $k \in Z.$

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Bài 2: (ĐHNT – 1998): Giải phương trình:

$\sin x + {\sin ^2}x + {\sin ^3}x + {\sin ^4}x$ $ = \cos x + {\cos ^2}x + {\cos ^3}x + {\cos ^4}x.$

Ta có:

${\sin ^3}x – {\cos ^3}x$ $ = (\sin x – \cos x)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + \sin x\cos x} \right).$

${\sin ^4}x – {\cos ^4}x$ $ = \left( {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$ $ = – \cos 2x.$

Phương trình được viết lại dưới dạng:

$\sin x – \cos x$ $ + {\sin ^2}x – {\cos ^2}x$ $ + {\sin ^3}x – {\cos ^3}x$ $ + {\sin ^4}x – {\cos ^4}x = 0.$

$ \Leftrightarrow \sin x – \cos x – \cos 2x$ $ + (\sin x – \cos x)(1 + \sin x\cos x)$ $ – \cos 2x = 0.$

$ \Leftrightarrow \sin x – \cos x – 2\cos 2x$ $ + (\sin x – \cos x)(1 + \sin x\cos x) = 0.$

$ \Leftrightarrow (\sin x – \cos x)$$\left[ {1 + 2(\sin x + \cos x) + 1 + \sin x\cos x} \right] = 0.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\sin x – \cos x = 0\:\left( 1 \right)}\\

{2(\sin x + \cos x) + \sin x\cos x + 2 = 0\:\left( 2 \right)}

\end{array}} \right..$

+ Giải $(1)$: Ta được $\tan x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$

+ Giải $(2)$: Đặt $\sin x + \cos x = t$ điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.$

Khi đó $(2)$ có dạng:

$2t + \frac{{{t^2} – 1}}{2} + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = – 1}\\

{t = – 3\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right..$

$ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = – 1$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\

{x = \pi + 2k\pi }

\end{array}} \right.$, $k \in Z.$

Vậy phương trình có ba họ nghiệm.

Bài 3: (ĐHSP TP HCM – ĐHL TP HCM): Tìm $m$ để phương trình: $2\cos 2x$ $ + (\sin x\cos x – m)(\sin x + \cos x) = 0$ $(1)$ có nghiệm trong khoảng $\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right].$

Biến đổi phương trình về dạng:

$(\sin x + \cos x)\left[ {2(\cos x – \sin x) + \sin x\cos x – m} \right] = 0.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\sin x + \cos x = 0}\\

{2(\cos x – \sin x) + \sin x\cos x = m}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – \frac{\pi }{4} + k\pi }\\

{2(\cos x – \sin x) + \sin x\cos x = m}

\end{array}} \right..$

$ \Leftrightarrow 2(\cos x – \sin x) + \sin x\cos x – m = 0$ $(2).$

Đặt $t = \cos x – \sin x$, vì $x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$ $ \Leftrightarrow t \in [ – 1,1].$

Khi đó $\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}$, phương trình $(2)$ có dạng:

$ – \frac{1}{2}{t^2} + 2t + \frac{1}{2} = m$ $(3).$

Vậy $(1)$ có nghiệm trong khoảng $\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$ $ \Leftrightarrow (3)$ có nghiệm thuộc $[ – 1,1].$

Xét hàm số $f(t) = – \frac{1}{2}{t^2} + 2t + \frac{1}{2}.$

Miền xác định: $D = [ – 1,1].$

Đạo hàm:

$f'(t) = – t + 2.$

$f(t) = 0$ $ \Leftrightarrow t = 2.$

Bảng biến thiên:

Vậy phương trình có nghiệm thuộc $[ – 1,1]$ khi:

$f( – 1) \le m \le f(1)$ $ \Leftrightarrow – 2 \le m \le 2.$

Bài 4: Giải và biện luận phương trình:

$\frac{1}{{\cos x}} – \frac{1}{{\sin x}} = k.$

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\sin x \ne 0}\\

{\cos x \ne 0}

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$

Biến đổi phương trình về dạng:

$\frac{{\sin x – \cos x}}{{\sin x\cos x}} – k = 0$ $ \Leftrightarrow \sin x – \cos x – k\sin x\cos x = 0$ $(1).$

Đặt $\sin x – \cos x = t$, điều kiện $\left| t \right| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.$

Khi đó phương trình có dạng:

$t – k.\frac{{1 – {t^2}}}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow f(t) = k{t^2} + 2t – k = 0$ $(2).$

1. Với $k = 0$ ta được:

$t = 0$ $ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 0$ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$

Vậy với $k = 0$ phương trình có một họ nghiệm.

2. Với $k \ne 0$ ta có:

$\Delta = 1 + {k^2} > 0$, $\forall k$ suy ra phương trình $(2)$ có hai nghiệm là:

${t_1} = \frac{{ – 1 – \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$

${t_2} = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$

Phương trình $(1)$ có nghiệm $ \Rightarrow (2)$ có nghiệm thoả mãn $ – \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 .$

Xét hai trường hợp:

+ Trường hợp 1: Phương trình $(2)$ có $1$ nghiệm thuộc $[ – \sqrt 2 ,\sqrt 2 ].$

$ \Leftrightarrow f( – \sqrt 2 )f(\sqrt 2 ) \le 0$ $ \Leftrightarrow (k – 2\sqrt 2 )(k + 2\sqrt 2 ) \le 0$ $ \Leftrightarrow – 2\sqrt 2 \le k \le 2\sqrt 2 .$

Khi đó nghiệm thuộc $[ – \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]$ là ${t_2} = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$

$ \Leftrightarrow \sin x – \cos x = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{{k\sqrt 2 }} = \sin \alpha .$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x – \frac{\pi }{4} = \alpha + 2k\pi }\\

{x – \frac{\pi }{4} = \pi – \alpha + 2k\pi }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \alpha + \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\

{x = \frac{{5\pi }}{4} – \alpha + 2k\pi }

\end{array}} \right.$, $k \in Z.$

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

+ Trường hợp 2: Phương trình $(2)$ có $2$ nghiệm thuộc $[ – \sqrt 2 ,\sqrt 2 ].$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\Delta \ge 0}\\

{af(\sqrt 2 ) \ge 0}\\

{af( – \sqrt 2 ) \ge 0}\\

{ – \sqrt 2 \le \frac{S}{2} \le \sqrt 2 }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{1 + {k^2} \ge 0}\\

{k(k + 2\sqrt 2 ) \ge 0}\\

{k(k – 2\sqrt 2 ) \ge 0}\\

{ – \sqrt 2 \le – \frac{1}{k} \le \sqrt 2 }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k \ge 2\sqrt 2 }\\

{k \le – 2\sqrt 2 }

\end{array}} \right..$

Khi đó:

+ Với ${t_1} = \frac{{ – 1 – \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$

$ \Leftrightarrow \sin x – \cos x = \frac{{ – 1 – \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ – 1 – \sqrt {1 + {k^2}} }}{{k\sqrt 2 }} = \sin \alpha .$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x – \frac{\pi }{4} = \alpha + 2k\pi }\\

{x – \frac{\pi }{4} = \pi – \alpha + 2k\pi }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \alpha + \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\

{x = \frac{{5\pi }}{4} – \alpha + 2k\pi }

\end{array}} \right.$, $k \in Z.$

+ Với ${t_2} = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.$

$ \Leftrightarrow \sin x – \cos x = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}$ $ \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{{k\sqrt 2 }} = \sin \beta .$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x – \frac{\pi }{4} = \beta + 2k\pi }\\

{x – \frac{\pi }{4} = \pi – \beta + 2k\pi }

\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \beta + \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\

{x = \frac{{5\pi }}{4} – \beta + 2k\pi }

\end{array}} \right.$, $k \in Z.$

Vậy phương trình có bốn họ nghiệm.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tập 1. Giải các phương trình sau:

a. $3(\sin x + \cos x) – 4\sin x\cos x = 0.$

b. $12(\sin x – \cos x) – 2\sin x\cos x – 12 = 0.$

c. $(1 + \cos x)(1 + \sin x) = 2.$

Bài tập 2. Giải các phương trình sau:

a. $|\sin x – \cos x| + 4\sin 2x = 1.$

b. $|\sin x + \cos x| – \sin 2x = 0.$

Bài tập 3. (ĐHQG Hà Nội Khối B – 1997): Giải phương trình:

$2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}.$

Bài tập 4. Tìm $m$ để phương trình: $3(\sin x + \cos x) = 4m\sin x\cos x$ có nghiệm thuộc $\left( {0,\frac{{3\pi }}{4}} \right).$

Bài tập 5. Cho phương trình: $(1 – \cos x)(1 – \sin x) = m.$

a. Giải phương trình với $m = 2.$

b. Tìm $m$ để phương trình có đúng $1$ nghiệm thuộc $\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right].$

Bài tập 6. Cho phương trình: $2{\sin ^3}x + \cos 2x + \cos x = m.$

a. Giải phương trình với $m = 0.$

b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.

Bài tập 7. Cho phương trình: $m(\sin x + \cos x) + \sin x\cos x + 1 = 0.$

a. Giải phương trình với $m = – \sqrt 2 .$

b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.

c. Tìm $m$ để phương trình có đúng $1$ nghiệm thuộc $\left[ { – \frac{\pi }{2},0} \right].$

Bài tập 8. Cho phương trình:

$m(\sin x + \cos x) + \sin 2x = 0.$

a. Giải phương trình với $m = 1.$

b. Tìm $m$ để phương trình vô nghiệm.

c. Tìm $m$ để phương trình có đúng $2$ nghiệm thuộc $[0,\pi ].$

Bài tập 9. Giải và biện luận theo $k$ phương trình:

$\frac{1}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin x}} = k.$

Bài tập 10. Cho phương trình:

$m(\sin x – \cos x) + 2\sin x\cos x = m.$

a. Giải phương trình với $m = 1 + \sqrt 2 .$

b. Tìm $m$ để phương trình có đúng $2$ nghiệm thuộc $[0,\pi ].$

Bài tập 11. Cho phương trình:

$m + {\sin ^3}x + {\cos ^3}x – 3\sin x\cos x = 0.$

a. Giải phương trình với $m = 1.$

b. Tìm $m$ để phương trình có đúng $3$ nghiệm thuộc $[0,\pi ].$

c. Tìm $m$ để phương trình có đúng $4$ nghiệm thuộc $[0,\pi ].$

Bài tập 12. Xác định $m$ để phương trình: $\sin x + \cos x + 1$ $ + \frac{1}{2}\left( {\tan x + \cot x + \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}} \right) = m$ có nghiệm $x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right).$

Bài tập 13. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm:

$\sin 2x + 4(\cos x – \sin x) = m.$