giải phương trình lượng giác bằng phương pháp biến đổi về phương trình tích

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải phương trình lượng giác bằng cách biến đổi về phương trình tích thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách, nhóm các số hạng hợp lý để tạo ra nhân tử chung và đưa phương trình lượng giác về dạng tích:

$A.B.C…. = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

A = 0\\

B = 0\\

C = 0\\

……

\end{array} \right.$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

a. $1 + \sin x + \cos x$ $ + \sin 2x + \cos 2x = 0.$

b. $\left( {2\cos x – 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right)$ $ = \sin 2x – \sin x.$

c. $\cos 2x + 3\sin 2x$ $ + 5\sin x – 3\cos x = 3.$

d. $2\sin x\left( {1 + \cos 2x} \right) + \sin 2x$ $ = 1 + 2\cos x.$

e. $\sin 2x – \cos 2x$ $ + 3\sin x – \cos x – 1 = 0.$

f. $\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\cos x$ $ + 2\cos 2x – \sin x = 0.$

a. $PT \Leftrightarrow \sin x + \cos x$ $ + 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0.$

b. $PT \Leftrightarrow \left( {2\cos x – 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right)$ $ = \sin x\left( {2\cos x – 1} \right)$

$ \Leftrightarrow \left( {2\cos x – 1} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0.$

c. $PT \Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x + 6\sin x\cos x$ $ + 5\sin x – 3\cos x = 3$

$ \Leftrightarrow 3\cos x\left( {2\sin x – 1} \right)$ $ – \left( {2{{\sin }^2}x – 5\sin x + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {3\cos x – \sin x + 2} \right) = 0.$

d. $PT \Leftrightarrow 4\sin x{\cos ^2}x + 2\sin x\cos x$ $ = 1 + 2\cos x$ $ \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {2\sin x\cos x – 1} \right) = 0.$

e. $PT \Leftrightarrow 2\sin x\cos x$ $ – \left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right) + 3\sin x$ $ – \cos x – 1 = 0$

$ \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x – 1} \right)$ $ + 2{\sin ^2}x + 3\sin x – 2 = 0$

$ \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x – 1} \right)$ $ + \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {\sin x + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {\cos x + \sin x + 2} \right) = 0.$

f. $PT \Leftrightarrow 2\sin x{\cos ^2}x + \cos 2x\cos x$ $ + 2\cos 2x – \sin x = 0$

$ \Leftrightarrow \sin x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)$ $ + \cos 2x\left( {\cos x + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \sin x\cos 2x$ $ + \cos 2x\left( {\cos x + 2} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin x + \cos x + 2} \right) = 0.$

Ví dụ 2. Giải các phương trình lượng giác sau:

a. $2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$ $ = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}.$

b. $\tan 2x + \cot x = 8{\cos ^2}x.$

c. $2\tan x + \cot x$ $ = \sqrt 3 + \frac{2}{{\sin 2x}}.$

d. $\cos 2x + \cos x\left( {2{{\tan }^2}x – 1} \right) = 2.$

e. $\frac{1}{{\tan x + \cot 2x}}$ $ = \frac{{\sqrt 2 \left( {\cos x – \sin x} \right)}}{{\cot x – 1}}.$

f. $\cot x – 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}}$ $ + {\sin ^2}x – \frac{1}{2}\sin 2x.$

a. Điều kiện: $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.$

$PT \Leftrightarrow 2\left( {\sin x + \cos x} \right)$ $ = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x\cos x}}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

\sin x + \cos x = 0\\

\sin 2x = 1

\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

\tan x = – 1\\

\sin 2x = 1

\end{array} \right.$

Giải và kết hợp với điều kiện thu được: $x = – \frac{\pi }{4} + k\pi $, $x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ hay $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$ $(k∈Z).$

b. Điều kiện: $\cos 2x \ne 0$, $\sin x \ne 0.$

$PT \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 8{\cos ^2}x$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x\sin x + \cos 2x\cos x}}{{\cos 2x\sin x}}$ $ = 8{\cos ^2}x$

$ \Leftrightarrow \cos x\left( {1 – 8\cos x\cos 2x\sin x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

\cos x = 0\\

\sin 4x = \frac{1}{2}

\end{array} \right.$

Đáp án: $x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ hoặc $x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{2}$ hoặc $x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}$ $(k∈Z).$

c. Điều kiện: $\sin x \ne 0$, $\cos x \ne 0.$

$ \Leftrightarrow \frac{{2\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}$ $ = \sqrt 3 + \frac{1}{{\sin x\cos x}}$ $ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x$ $ = \sqrt 3 \sin x\cos x + 1$

$ \Leftrightarrow 1 + {\sin ^2}x = \sqrt 3 \sin x\cos x + 1$ $ \Leftrightarrow \sin x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

\sin x = 0\left( {{\rm{loại}}} \right)\\

\sin x = \sqrt 3 \cos x

\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 x = \frac{\pi }{3} + k\pi $ $(k∈Z).$

d. Điều kiện: $\cos x \ne 0.$

$ \Leftrightarrow \cos 2x + 2\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} – \cos x = 2$ $ \Leftrightarrow 2\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} + \cos 2x – 1$ $ = 1 + \cos x$

$ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x\left( {\frac{1}{{\cos x}} – 1} \right)$ $ = 1 + \cos x$ $ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)$ $\left[ {2{{\left( {1 – \cos x} \right)}^2} – \cos x} \right] = 0.$

Đáp số: $x = \pi + k2\pi $, $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $ $(k∈Z).$

e. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}

\cos x.\sin 2x.\sin x\left( {\tan x + \cot 2x} \right) \ne 0\\

\cot x \ne 1

\end{array} \right.$

$PT \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}}}$ $ = \frac{{\sqrt 2 \left( {\cos x – \sin x} \right)}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} – 1}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\cos x\sin 2x}}{{\cos x}} = \sqrt 2 \sin x$

$ \Leftrightarrow \sin x\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) = 0.$

Kết hợp với điều kiện thu được nghiệm của phương trình là: $x = – \frac{\pi }{4} + k2\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$

f. Điều kiện: $\cos x \ne 0$, $\sin x \ne 0$, $\tan x \ne – 1.$

$PT \Leftrightarrow \frac{{\cos x – \sin x}}{{\sin x}}$ $ = \frac{{\cos x\left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right)}}{{\cos x + \sin x}}$ $ + {\sin ^2}x – \sin x\cos x$

$ \Leftrightarrow \left( {\cos x – \sin x} \right)$ $\left( {\frac{1}{{\sin x}} – \cos x + \sin x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

\cos x – \sin x = 0\\

{\sin ^2}x – \sin x\cos x – 1 = 0

\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

\tan x = 1\\

2{\tan ^2}x – \tan x + 1 = 0

\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ $(k∈Z).$

Ví dụ 3. Giải các phương trình lượng giác sau:

a. ${\sin ^3}x + {\cos ^3}x$ $ = 2\left( {{{\sin }^5}x + {{\cos }^5}x} \right).$

b. ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x$ $ = 2\left( {{{\sin }^8}x + {{\cos }^8}x} \right).$

c. ${\sin ^8}x + {\cos ^8}x$ $ = 2\left( {{{\sin }^{10}}x + {{\cos }^{10}}x} \right) + \frac{5}{4}\cos 2x.$

a. $PT \Leftrightarrow {\sin ^3}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)$ $ = {\cos ^3}x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)$ $ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\sin }^3}x – {{\cos }^3}x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

\cos 2x = 0\\

\tan x = 0

\end{array} \right.$

b. $PT \Leftrightarrow {\sin ^6}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)$ $ – {\cos ^6}x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\sin }^6}x – {{\cos }^6}x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

\cos 2x = 0\\

\tan x = \pm 1

\end{array} \right.$

c. $PT \Leftrightarrow {\sin ^8}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)$ $ + {\cos ^8}x\left( {1 – 2{{\cos }^2}x} \right)$ $ – \frac{5}{4}\cos 2x = 0$

$ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\cos }^8}x – {{\sin }^8}x + \frac{5}{4}} \right) = 0.$

Ví dụ 4. Giải các phương trình lượng giác sau:

a. $3 – \tan x\left( {\tan x + 2\sin x} \right)$ $ + 6\cos x = 0.$

b. $3\tan 3x + \cot 2x$ $ = 2\tan x + \frac{2}{{\sin 4x}}.$

c. $\sin 2x\left( {\cos x + 3} \right)$ $ – 2\sqrt 3 {\cos ^3}x – 3\sqrt 3 \cos 2x$ $ + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right)$ $ – 3\sqrt 3 = 0.$

d. $8\sqrt 2 {\cos ^6}x + 2\sqrt 2 {\sin ^3}x\sin 3x$ $ – 6\sqrt 2 {\cos ^4}x – 1 = 0.$

e. $3\left( {\cot x – \cos x} \right)$ $ – 5\left( {\tan x – \sin x} \right) = 2.$

a. Điều kiện: $\cos x \ne 0.$

$ \Leftrightarrow 3 – \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\left( {\frac{{\sin x + 2\sin x\cos x}}{{\cos x}}} \right)$ $ + 6\cos x = 0$

$ \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x – {\sin ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right)$ $ + 6{\cos ^3}x = 0$

$ \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right)$ $ – {\sin ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {1 + 2\cos x} \right)\left( {3{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right) = 0.$

Đáp số: $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi $ $\left( {k \in Z} \right).$

b. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}

\cos 3x \ne 0\\

\cos x \ne 0\\

\sin 4x \ne 0\\

\sin 2x \ne 0

\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}$, $x \ne k\frac{\pi }{4}.$

$PT \Leftrightarrow 2\left( {\tan 3x – \tan x} \right)$ $ + \left( {\tan 3x + \cot 2x} \right) = \frac{2}{{\sin 4x}}$

$ \Leftrightarrow \frac{{2\sin 2x}}{{\cos 3x\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\cos 3x\sin 2x}}$ $ = \frac{2}{{\sin 4x}}$

$ \Leftrightarrow 4\sin 4x\sin x + 2\cos 2x\cos x$ $ = 2\cos 3x$ $ \Leftrightarrow 4\sin 4x\sin x + \cos 3x + \cos x$ $ = 2\cos 3x$

$ \Leftrightarrow \sin 2x\sin x\left( {4\cos x + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 2x = – \frac{1}{4}.$

c. $PT \Leftrightarrow 2\sin x{\cos ^2}x + 6\sin x\cos x$ $ – 2\sqrt 3 {\cos ^3}x – 6\sqrt 3 {\cos ^2}x$ $ + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)$ $ + 6\cos x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)$ $ + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)$$\left( {2{{\cos }^2}x + 6\cos x – 8} \right) = 0.$

d. $PT \Leftrightarrow 2\sqrt 2 {\cos ^3}x\left( {4{{\cos }^3}x – 3\cos x} \right)$ $ + 2\sqrt 2 {\sin ^3}x\sin 3x – 1 = 0$

$ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {2\cos x\cos 3x} \right)$ $ + 2{\sin ^2}x\left( {2\sin x\sin 3x} \right) = \sqrt 2 $

$ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right)\left( {\cos 2x + \cos 4x} \right)$ $ + \left( {1 – \cos 2x} \right)\left( {\cos 2x – \cos 4x} \right) = \sqrt 2 $

$ \Leftrightarrow 2\left( {\cos 2x + \cos 2x\cos 4x} \right)$ $ = \sqrt 2 \Leftrightarrow \cos 2x{\cos ^2}2x = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$

$ \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{8} + k\pi $ $(k∈Z).$

e. Điều kiện: $\sin x \ne 0$, $\cos x \ne 0.$

$PT \Leftrightarrow 3\left( {\cot x – \cos x + 1} \right)$ $ – 5\left( {\tan x – \sin x + 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow 3\left( {\frac{{\cos x – \sin x\cos x + \sin x}}{{\sin x}}} \right)$ $ – 5\left( {\frac{{\sin x – \sin x\cos x + \cos x}}{{\cos x}}} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

\cos x – \sin x\cos x + \sin x = 0\\

\frac{3}{{\sin x}} = \frac{5}{{\cos x}}

\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}

{t^2} – 2t – 1 = 0\\

\tan x = \frac{5}{3}

\end{array} \right.$ với ${t = \sin x + \cos x}$ ${ = \sqrt 2 \cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)}.$

Đối chiếu với điều kiện thu được: $x = \frac{\pi }{4} \pm \arccos \frac{{1 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi $, $x = \arctan \frac{3}{5} + k\pi $ $(k∈Z).$