đề thi chọn hsg toán thpt cấp tỉnh năm học 2018 – 2019 sở gd&đt phú yên

Thứ Năm ngày 28 tháng 03 năm 2019, sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Yên tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán năm học 2018 – 2019. Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Phú Yên được biên soạn theo dạng tự luận với 06 bài toán, đề có thang điểm 20, thời gian thí sinh làm bài là 180 phút (không kể thời gian giám thị coi thi phát đề).

Trích dẫn đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Phú Yên:

+ Cho bốn số thực p, q, m, n thỏa mãn hệ thức: (q – n)^2 + (p – m)(pn – qm) < 0. Chứng minh rằng hai phương trình: x^2 + px + q = 0 và x^2 + mx + n = 0 đều có các nghiệm phân biệt và các nghiệm của chúng nằm xen kẽ nhau khi biểu diễn trên trục số.

[ads]

+ Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

a) Chứng minh rằng a.IA^2 + b.IB^2 + c.IC^2 = abc.

b) Chứng minh rằng √a(bc – IA^2) + √(b(ca – IB^2) + √c(ab – IC^2) ≤ 6√abc. Hãy chỉ ra một trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.

+ Cho x, y, z là 3 số thực thỏa mãn x^2 + y^2 + z^2 = 1.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy + yz + 2019zx.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = xy + yz + 2zx.