bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng và một số ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

1. Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Để giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(α)$, ta thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm mặt phẳng $(β)$ chứa đường thẳng $d.$

+ Xác định giao tuyến $c$ của hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ (Xem thêm: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng).

+ Tìm giao điểm $A$ của hai đường thẳng $d$ và $c$, khi đó $A$ chính là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(α).$

2. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD$ có $AB$ không song song với $CD$. Gọi $S$ là điểm nằm ngoài mặt phẳng $(ABCD)$, $M$ là trung điểm của $SC$. Tìm giao điểm $N$ của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(MAB).$

Trên mặt phẳng $(SAC)$, gọi $I = AM ∩ SO.$

Xét mặt phẳng $(SBD)$ chứa $SD.$

Ta có $(SBD) ∩ (MAB) = BI.$

Trên mặt phẳng $(SBD)$, gọi $N = BI ∩ SD$ thì $N = SD ∩ (MAB).$

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD.$ Lấy hai điểm $M$, $N$ lần lượt trên $AC$ và $AD$ sao cho $MN$ không song song $CD.$ Lấy điểm $O$ bên trong $ΔBCD.$

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(OMN)$ và $(BCD).$

b) Tìm giao điểm của các đường thẳng $BC$, $BD$ với mặt phẳng $(OMN)$.

a) Trong mặt phẳng $(ACD)$ gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $NM$ và $CD.$

Hiển nhiên $OI = (OMN) ∩ (BCD).$

b) Trong mặt phẳng $(BCD)$ gọi $H$, $K$ là giao điểm của $OI$ với $BC$, $BD.$

$K,H \in OI \Rightarrow K,H \in (OMN).$

Vậy $H = BC ∩ (OMN)$, $K = BD ∩ (OMN).$

Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$. Lấy điểm $M$ trên cạnh $SC.$

a) Tìm giao điểm của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(SBD).$

b) Lấy điểm $N$ trên cạnh $BC.$ Tìm giao điểm của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(AMN).$

a) Xét mặt phẳng phụ $(SAC)$ chứa $AM.$

Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $O$ là giao điểm của hai đường thẳng $BD$ và $AC$ thì $SO = (SAC) ∩ (SBD).$

Trong mặt phẳng $(SAC)$ gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $SO$ và $AM$ thì $I = AM ∩ (SBD).$

b) Xét mặt phẳng phụ $(SBD)$ chứa $SD.$

Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $Y$ là giao điểm của hai đường thẳng $BD$ và $AN$ thì $IY = (SBD) ∩ (AMN).$

Trong mặt phẳng $(SBD)$ gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $IY$ và $SD$ thì $K = SD ∩ (AMN).$

Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I$ và $K$ lần lượt là hai điểm trong của các tam giác $ABC$ và $BCD.$ Giả sử $IK$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ tại $H.$ Tìm $H.$

Xét mặt phẳng $(BIK)$ chứa $IK.$

Trong mặt phẳng $(ABC)$: $BI$ cắt $AC$ tại $M.$

Trong mặt phẳng $(BCD)$: $BK$ cắt $CD$ tại $N$ thì $MN = (BIK) ∩ (ACD).$

Trong mặt phẳng $(BIK)$, giả sử $IK$ cắt $MN$ tại $H$ thì $H$ chính là giao điểm của $IK$ và mặt phẳng $(ACD).$

[ads]

Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SC.$

a) Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(SBD).$ Chứng minh $IA = 2IM.$

b) Tìm giao điểm $F$ của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABM).$ Chứng minh $F$ là trung điểm của $SD.$

c) Lấy điểm $N$ tùy ý trên cạnh $AB.$ Tìm giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SBD).$

a) Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD.$

Trong mặt phẳng $(SAC)$, $AM$ cắt $SO$ tại $I$ thì $I$ là giao điểm của $AM$ và mặt phẳng $(SBD).$

Do $I$ là trọng tâm tam giác $ΔSAC$ nên $IA = 2IM.$

b) Xét mặt phẳng $(SBD)$ chứa $SD$ thì $BI$ là giao tuyến của mặt phẳng $(SBD)$ và mặt phẳng $(ABM).$

Trong mặt phẳng $(SBD)$, $BI$ cắt $SD$ tại $F$ thì $F = SD ∩ (ABM).$

Do $I$ cũng là trọng tâm $ΔSBD$ nên $F$ là trung điểm $SD.$

c) Xét mặt phẳng $(MAB)$ chứa $MN$ thì $BI$ là giao tuyến của mặt phẳng $(MAB)$ và mặt phẳng $(SBD).$

Trong mặt phẳng $(MAB)$, $MN$ cắt $BI$ tại $J$ thì $J$ là giao điểm của $MN$ và mặt phẳng $(SBD).$

Ví dụ 6: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Trên đoạn $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD.$

a) Tìm giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNK).$

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(MNK)$ và $(ABD).$

a) Xét mặt phẳng $(BCD)$ chứa $CD.$

Do $NK$ không song song với $CD$ nên $NK$ cắt $CD$ tại $I.$

$I ∈ NK ⇒ I ∈ (MNK).$

Vậy $CD$ cắt $(MNK)$ tại $I.$

b) Trong mặt phẳng $(ACD)$, $MI$ cắt $AD$ tại $E.$

Ta có $K ∈ BD ⇒ K ∈ (ABD)$ và $K ∈ (MNK).$

Mặt khác: $E ∈ AD ⇒ E ∈ (ABD)$, $E ∈ MI ⇒ E ∈ (MNK).$

Vậy $EK = (MNK) ∩ (ABD).$

Lưu ý: $I ∈ NK$ nên $I ∈ (MNK).$ Do đó $MI ∈ (MNK).$

Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I$, $J$ là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Trên $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD.$

a) Tìm giao điểm $E$ của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(IJK).$

b) Tìm giao điểm $F$ của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(IJK).$

c) Lấy $M$, $N$ trên $AB$, $CD$. Tìm giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(IJK).$

a) Trong mặt phẳng $(BCD)$ gọi $E$ là giao điểm của $CD$ và $KJ$ thì $E = CD ∩ (IJK).$

b) Trong mặt phẳng $(ACD)$ gọi $F$ là giao điểm của $EI$ và $AD.$

$F ∈ EI ⇒ F ∈ (IJK).$

Vậy $F = AD ∩ (IJK).$

c) Trong mặt phẳng $(DAC)$ gọi $A’$ là giao điểm của $AN$ và $IF.$

Trong mặt phẳng $(DBC)$ gọi $B’$ là giao điểm của $BN$ và $KJ.$

Trong mặt phẳng $(NAB)$ gọi $P$ là giao điểm của $A’B’$ và $MN.$

Do $P ∈ A’B’$ nên $P ∈ (IJK).$

Vậy $MN ∩ (IJK) = P.$

Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình thang đáy lớn $AB.$ Lấy $I$, $Y$, $K$ lần lượt trên $SA$, $AB$, $BC.$ Tìm giao điểm của:

a) $IK$ và $(SBD).$

b) $SD$ và $(IYK).$

c) $SC$ và $(IYK).$

a) Xét mặt phẳng $(SKA)$ chứa $KI.$

Trong $(ABDC)$ gọi $H$ là giao điểm của $AK$ và $BD$ thì $SH = (SKA) ∩ (SBD).$

Trong mặt phẳng $(SAK)$ gọi $P$ là giao điểm của $SH$ và $IK$ thì $P = IK ∩ (SBD).$

b) Xét mặt phẳng $(SAD)$ chứa $SD.$

Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $Q$ là giao điểm của $YK$ và $AD$ thì $IQ = (SAD) ∩ (IYK).$

Trong mặt phẳng $(SAD)$ gọi $M$ là giao điểm của $QI$ và $SD$ thì $M = SD ∩ (IYK).$

c) Xét mặt phẳng $(SBC)$ chứa $SC.$

Trong mặt phẳng $(SAB)$ gọi $N$ là giao điểm của $IY$ và $SB$ thì $KN = (SBC) ∩ (IYK).$

Trong mặt phẳng $(SBC)$ gọi $R$ là giao điểm của $NK$ và $SC$ thì $N = SC ∩ (IYK).$

Ví dụ 9: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm $SB$, $G$ là trọng tâm tam giác $ΔSAD.$

a) Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $MG$ và mặt phẳng $(ABCD).$ Chứng minh $IC = 2ID.$

b) Tìm giao điểm $J$ của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(OMG).$ Tính tỉ số $\frac{{JA}}{{JD}}.$

c) Tìm giao điểm $K$ của đường thẳng  $SA$ và mặt phẳng $(OMG).$

a) Gọi $H$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $SA.$

Trên mặt phẳng $(ABCD)$, $BH$ cắt $CD$ tại $I.$

Trên mặt phẳng $(SBH)$, $MG$ cắt $BH$ tại $I$ thì $I$ là giao điểm của $MG$ và mặt phẳng $(ABCD).$

Ta có:

$I ∈ GM$ nên $I ∈ (MN, CD).$

$I ∈ BH$ nên $I ∈ (ABCD).$

Mà giao tuyến của mặt phẳng $(MN, CD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $CD$ nên $I ∈ CD.$

Do $HD$ là đường trung bình của tam giác $ΔIBC$ nên $IC = 2ID.$

b) Xét mặt phẳng $(ABCD)$ chứa $AD.$

Ta có $OI$ là giao tuyến của mặt phẳng $(OMG)$ và mặt phẳng $(ABCD).$

Trên mặt phẳng $(ABCD)$, $OI$ cắt $AD$ tại $J$ thì $J$ là giao điểm của $AD$ và mặt phẳng $(OMG).$

Tam giác $ΔAIC$ có $IO$ và $AD$ là hai đường trung tuyến nên $J$ là trọng tâm $ΔAIC.$

Vậy $\frac{{JA}}{{JD}} = 2.$

c) Xét mặt phẳng $(SDA)$ chứa $SA$ thì $GJ$ là giao tuyến của mặt phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(OMG).$

Trong mặt phẳng $(SAD)$, $GJ$ cắt $SA$ tại $K$ thì $K = SA ∩ (OMG).$

3. Bài tập rèn luyện

1. Cho tứ diện $ABCD.$ Trên $AC$ và $AD$ lấy hai điểm $M$, $N$ sao cho $MN$ không song song với $CD.$ Gọi $I$ là điểm bên trong tam giác $ΔBCD.$

a) Tìm giao tuyến của $(IMN)$ và $(BCD).$

b) Tìm giao điểm của $BC$ và $BD$ với $(CMN).$

2. Cho hình chóp $S.ABCD.$ Lấy điểm $M$ trên $SC$, $N$ trên $BC$. Tìm giao điểm của:

a) $AM$ và $(SBD).$

b) $SD$ và $(AMN).$

3. Cho tứ diện $ABCD.$ Lấy điểm $M$, $N$ trên $AC$, $AD$. Lấy $O$ là điểm bên trong tam giác $ΔBCD.$ Tìm giao điểm của:

a) $MN$ và $(ABD).$

b) $OA$ và $(BMN).$

4. Cho tứ diện $ABCD.$ Lấy $I$, $J$ là hai điểm bên trong $ΔABC$ và $ΔABD$, $M$ là điểm trên $CD.$ Tìm giao điểm của $IJ$ và $(ABM).$

5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $AD$ không song song với $BC$. Lấy $K$ trên đoạn $SB.$ Tìm giao điểm của:

a) $BC$ và $(SAD).$

b) $SC$ và $(AKD).$

6. Cho tứ diện $S.ABC$. Gọi $I$, $H$ là trung điểm của $SA$, $AB$. Trên $SC$ lấy điểm $K$ sao cho $CK = 3KS.$

a) Tìm giao điểm của $BC$ và $(IHK).$

b) Gọi $M$ là trung điểm của $IH.$ Tìm giao điểm của $KM$ và $(ABC).$