đề thi olympic toán 10 năm 2018 – 2019 trường thpt kim liên – hà nội

montoan.vn giới thiệu đến thầy, cô và các em học sinh khối 10 nội dung đề thi Olympic Toán 10 năm 2018 – 2019 trường THPT Kim Liên – Hà Nội, đề thi gồm 01 trang với 05 bài toán tự luận, học sinh làm bài trong 150 phút (không tính khoảng thời gian giám thị coi thi phát đề), đề thi có lời giải chi tiết.

Trích dẫn đề thi Olympic Toán 10 năm 2018 – 2019 trường THPT Kim Liên – Hà Nội:

+ Một cầu treo có dây truyền đỡ là Parabol ACB như hình vẽ. Đầu và cuối của dây được gắn vào các điểm A, B trên mỗi trục AA′ và BB′ với độ cao 30 m. Chiều dài đoạn A’B′ trên nền cầu bằng 200 m. Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên cầu là CC’ = 5 m. Gọi Q′, P′, H′, C’, I′, J′, K′ là các điểm chia đoạn A’B′ thành các phần bằng nhau. Các thanh thẳng đứng nối nền cầu với đáy dây truyền: QQ′, PP′, HH′, CC’, II′, JJ′, KK′ gọi là các dây cáp treo. Tính tổng độ dài của các dây cáp treo?

[ads]

+ Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ, BC = a, CA = b, AB = c.

a) Chứng minh rằng (b^2 – c^2)cosA = a(c.cosC – b.cosB).

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MB^2 + MC^2 = MA^2.

+ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(3;1), B(-1;2).

a) Tìm tọa độ điểm N trên trục hoành Ox sao cho khoảng cách AN nhỏ nhất.

b) Cho điểm M di động trên đường thẳng d: y = x. Đường thẳng MA cắt trục hoành tại P và đường thẳng MB cắt trục tung tại Q. Chứng minh đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định.