đề thi olympic môn toán năm 2023 trường thpt chuyên khtn – hà nội

montoan.vn giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi Olympic môn Toán năm 2023 trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, thành phố Hà Nội.

Trích dẫn Đề thi Olympic môn Toán năm 2023 trường THPT chuyên KHTN – Hà Nội:

+ Cho dãy số (an) thỏa mãn a1 = 7 và an + 1 = an(3an − 22n + 1) với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a2023 thì p − 1 chia hết cho 3.

+ Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) với phân giác trong AD (D nằm trên cạnh BC). M là trung điểm BC. AM cắt lại (O) tại N. J là trung điểm cung BC chứa A của (O). Trên (O) lấy các điểm S và T sao cho JS k AB và JT k AC. a) Chứng minh rằng đường thẳng ST đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADN. b) Lấy P thuộc (O) sao cho NP = AJ. Gọi giao điểm của P B và P C lần lượt với JS và JT là Q và R. Chứng minh rằng Q, R, D thẳng hàng.

+ Cho hình thang ABCD vuông tại A và B với BC < AD. Gọi ω là đường tròn tâm C đi qua B. Giả sử là một tiếp tuyến của ω sao cho vuông góc với BD đồng thời cắt tia đối tia AB tại E. F thuộc đường thẳng CD sao cho EF k AD. P là hình chiếu vuông góc của F trên M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác EPM tiếp xúc với ω.